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第三章 中值定理与导数的应用教学目的:1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理,理解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的措施,掌握函数最大值和最小值的求法及其简朴应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的措施。5、 懂得曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。6、 懂得方程近似解的二分法及切线性。教学重点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理;2、函数的极值 ,判断函数的单调性和求函数极值的措施;3、函数图形的凹凸性;4、洛必达法则。教学难点: 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用; 2、极值的判断措施; 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘; 4、洛必达法则的灵活运用。3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义, 并且在x0处可导, 如果对任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0), 那么f (x0)=0. 罗尔定理 如果函数y=f(x)在闭区间a, b上持续, 在开区间(a, b)内可导, 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)内至少在一点x , 使得f (x)=0. 简要证明: (1)如果f(x)是常函数, 则f (x)0, 定理的结论显然成立. (2)如果f(x)不是常函数, 则f(x)在(a, b)内至少有一种最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点x(a, b). 于是, , 因此f (x)=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间a, b上持续, 在开区间(a, b)内可导, 那么在(a, b)内至少有一点x(axb), 使得等式f(b)-f(a)=f (x)(b-a)成立. 拉格朗日中值定理的几何意义: f (x)=, 定理的证明: 引进辅函数令 j(x)=f(x)-f(a)-(x-a). 容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件: j(a)=j(b)=0, j(x)在闭区间a, b 上持续在开区间(a, b)内可导, 且j (x)=f (x)-. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a, b)内至少有一点x, 使j (x)=0, 即f (x)-=0. 由此得 = f (x) , 即 f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 定理证毕. f(b)-f(a)=f (x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b0或Dx0)或x+Dx, x (Dx0)应用拉格朗日中值公式, 得f(x+Dx)-f(x)=f (x+qDx)Dx (0q1). 如果记f(x)为y, 则上式又可写为Dy=f (x+qDx)Dx (0q1). 试与微分d y=f (x)Dx 比较: d y =f (x)Dx是函数增量Dy 的近似体现式, 而f (x+qDx)Dx是函数增量Dy 的精确体现式. 作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理: 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那么f(x)在区间I上是一种常数. 证 在区间I上任取两点x1, x2(x1x2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f(x2)-f(x1)=f (x)(x2 - x1) (x1x0时, . 证 设f(x)=ln(1+x), 显然f(x)在区间0, x上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f(x)-f(0)=f (x)(x-0), 0xx。由于f(0)=0, , 因此上式即为 .又由0xx, 有 . 三、柯西中值定理 设曲线弧C由参数方程 (axb)表达, 其中x为参数. 如果曲线C上除端点外到处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C上必有一点x=x , 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C上点x=x 处的切线的斜率为 , 弦AB的斜率为 . 于是 . 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间a, b上持续, 在开区间(a, b)内可导, 且F (x)在(a, b)内的每一点处均不为零, 那么在(a, b)内至少有一点x , 使等式 .成立. 显然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F (x)=1, 因而柯西中值公式就可以写成: f(b)-f(a)=f (x)(b-a) (axb), 这样就变成了拉格朗日中值公式了. 3. 3 泰勒公式 对于某些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往但愿用某些简朴的函数来近似体现. 由于用多项式表达的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们常常用多项式来近似体现函数. 在微分的应用中已经懂得, 当|x|很小时, 有如下的近似等式: e x 1+x, ln(1+x) x. 这些都是用一次多项式来近似体现函数的例子. 但是这种近似体现式还存在着局限性之处: 一方面是精确度不高, 这所产生的误差仅是有关x的高阶无穷小; 另一方面是用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度规定较高且需要估计误差时候, 就必须用高次多项式来近似体现函数, 同步给出误差公式. 设函数f(x)在具有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 目前我们但愿做的是: 找出一种有关(x-x0 )的n次多项式 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n来近似体现f(x), 规定p n(x)与f(x)之差是比(x-x0 ) n高阶的无穷小, 并给出误差| f (x)- p n (x)|的具体体现式. 我们自然但愿p n(x)与f(x)在x0 的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等, 这样就有 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n , p n(x)= a 1+2 a 2(x-x0 ) + +na n (x-x0 ) n-1 , p n(x)= 2 a 2 + 32a 3(x-x0 ) + + n (n-1)a n (x-x0 ) n-2 , p n(x)= 3!a 3 +432a 4(x-x0 ) + + n (n-1)(n-2)a n (x-x0 ) n-3 , , p n (n)(x)=n! a n . 于是 pn (x0 )=a 0 , p n (x0 )= a 1 , p n (x0 )= 2! a 2 , p n (x)= 3!a 3 , , p n (n)(x)=n! a n. 按规定有 f(x0)=p n(x0) =a0, f (x0)= p n (x0)= a 1 , f (x0)= p n (x0)= 2! a 2 , f (x0)= p n (x0)= 3!a 3 , f (n)(x0)= p n (n)(x0)=n! a n . 从而有 a 0=f(x0 ), a 1=f (x0 ), , , , . (k=0, 1, 2, , n). 于是就有 pn(x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)(x-x0) 2 + (x-x0) n . 泰勒中值定理 如果函数f(x)在具有x0的某个开区间(a, b)内具有直到(n+1)的阶导数, 则当x 在(a, b)内时, f(x)可以表达为(x-x0 )的一种n次多项式与一种余项R n(x)之和: 其中(x 介于x0与x之间).这里 多项式 . 称为函数f(x)按(x-x0 )的幂展开的n 次近似多项式, 公式 + , 称为f(x)按(x-x0 )的幂展开的n 阶泰勒公式, 而R n(x)的体现式其中(x介于x与x0之间). 称为拉格朗日型余项. 当n=0时, 泰勒公式变成拉格朗日中值公式: f(x)=f(x0 )+f (x)(x-x0 ) (x在x0 与x 之间). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 如果对于某个固定的n, 当x在区间(a, b)内变动时, |f (n+1)(x)|总不超过一种常数M, 则有估计式: ,及 . 可见, 妆x x0时, 误差|R n(x)|是比(x-x0 )n高阶的无穷小, 即 R n (x)=o(x-x0 ) n. 在不需要余项的精确体现式时, n 阶泰勒公式也可写成 + . 当x0 =0时的泰勒公式称为麦克劳林公式, 就是 ,或 ,其中.由此得近似公式: . 误差估计式变为: . 例1写出函数f(x)=e x 的n 阶麦克劳林公式. 解: 由于 f(x)=f (x)=f (x)= =f ( n)(x)=e x , 因此 f(0)=f (0)=f (0)= =f ( n)(0)=1 , 于是 (0q1), 并有 . 这时所产性的误差为 |R n(x)|=|x n+1| x | n+1. 当x=1时, 可得e的近似式: . 其误差为 |R n |. 例2求f(x)=sin x的n阶麦克劳林公式. 解: 由于 f (x)=cos x , f (x)=-sinx ,
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