xx-2019学年高二数学上学期10月月考试卷(含解析)一.填空题1.若集合，则实数_；【答案】【解析】【分析】根据并集定义求结果.【详解】因为，所以.【点睛】本题考查集合并集，考查基本求解能力.2.已知关于的二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是_；【答案】【解析】【分析】根据增广矩阵定义列方程组，解得结果.【详解】【点睛】本题考查增广矩阵定义，考查基本求解能力.3.函数的定义域_；【答案】【解析】【分析】根据对数真数大于零以及偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域.【详解】由题意得.【点睛】本题考查函数定义域以及解对数不等式，考查基本求解能力.4.已知向量，均为单位向量，若它们的夹角是60，则等于_；【答案】【解析】【分析】结合向量数量积先求向量模的平方，再开方得结果.【详解】【点睛】本题考查向量的模以及向量数量积，考查基本求解能力.5.函数的最小正周期为_；【答案】【解析】【分析】先根据两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质求周期.【详解】，所以周期为；【点睛】本题考查两角和与差正弦公式、二倍角余弦公式以及正弦函数性质，考查基本求解能力.6.等差数列中，则该数列的前项的和_.【答案】52【解析】由等差数列的性质可得+=2，代入已知式子可得3=12，故=4，故该数列前13项的和故答案为：527.已知函数，若函数为奇函数，则实数为_；【答案】【解析】【分析】令,根据奇函数性质得,化简得结果.最后验证.【详解】令, 则为奇函数，因此当时，；满足条件.因此.【点睛】本题考查奇函数性质，考查基本求解能力.8.数列中，若，则_；【答案】【解析】【分析】先分组求和得，再根据极限定义得结果.【详解】因为，所以则.【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.9.设函数在上有定义，对于任意给定正数，定义函数，则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则_.【答案】【解析】【分析】根据定义化简，再根据分段函数求结果.【详解】因为,因此.【点睛】本题考查分段函数解析式以及求分段函数值，考查基本求解能力.10.在中，边上的中线，若动点满足（），则的最小值是_；【答案】【解析】【分析】先根据向量共线得在线段上，再根据向量数量积化简，最后根据二次函数性质求最值.【详解】因为，所以三点共线，且在线段上，设，又因为，故最小值为.【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及二次函数性质，考查基本求解能力.11.定义平面向量之间的一种运算“*”如下：对任意的，令，给出以下四个命题：若与共线，则；对任意的，有；（注：这里指与的数量积）其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】【分析】根据向量共线、向量数量积以及新定义化简判断命题真假.【详解】因为若与共线，则，故正确；因为，故错误；因为，故正确；因为，则化简为：，等式左右两边相等，故正确；综上，正确的序号为：；【点睛】本题考查向量共线、向量数量积以及新定义理解，考查基本求解判断能力.12.已知为的外心，且，则实数_【答案】【解析】【分析】先点乘向量，再根据向量数量积、向量投影化简，最后根据正弦定理、两角和余弦公式化简得结果.【详解】两边同点乘向量，可得，所以由向量投影得，所以，由正弦定理知： ，【点睛】本题考查向量数量积、向量投影、正弦定理、两角和余弦公式，考查基本分析与求解能力.二.选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分）13.若平面向量和互相平行，其中，则（ ）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】B【解析】【分析】先根据向量平行得方程解得x，再根据向量模的坐标表示得结果.【详解】因为向量和互相平行，所以，因为则或，选B.【点睛】本题考查向量平行、向量模的坐标表示，考查基本求解能力.14.在中，角所对的边分别为，则“”是“”的 ( ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“，得出 ，根据充分必要条件的定义可判断【详解】中，角所对的边分别为， 或 根据充分必要条件的定义可判断：“”是“”的充分不必要条件 故选A【点睛】本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题15.函数，若存在，使，那么（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】C【解析】【分析】根据零点存在定理列不等式，解得结果，即得选项.【详解】由题意得或，选C【点睛】本题考查零点存在定理应用，考查基本求解能力.16.定义域为的函数图像的两个端点为，向量，是图像上任意一点，其中，。若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的的正实数称为该函数的线性近似阈值。下列定义在上函数中，线性近似阈值最小的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据定义分别求线性近似阈值，再求其中最小值.【详解】因为，故、三点共线，又因为，则、横坐标相同；1对于选项（），因为，所以，设，则，所以，故；2对于选项（），因为，设，则，那么，故；3对于选项（），因为，则，设，则，故；4对于选项（），因为，则，设，则，故；经比较，最小，故答案选D；【点睛】本题考查利用二次函数性质、基本不等式以及三角函数有界性求函数最值，考查基本分析求解能力.三.解答题（本大题共5题，满分76分）17.已知不等式的解集为（1）求实数的值；（2）若函数在区间上递增，求关于的不等式的解集。【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根据不等式解集得对应方程的根，根据韦达定理解得实数的值；（2）先根据二次函数单调性性质确定的范围，再根据对数函数单调性化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.【详解】（1）由题意得为方程的根，所以，（2）因为函数在区间上递增，所以，因此由得,即.【点睛】本题考查一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系、对数函数单调性以及解二次不等式，考查基本分析转化求解能力.18.已知函数（，是实数常数）的图像上的一个最高点是，与该最高点最近的一个最低点是.（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，角的取值范围是区间。当时，试求函数的取值范围。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根据配角公式化简函数解析式，再根据条件得周期解得，代入最高点坐标解得c,最后根据正弦函数性质求增区间，（2）先根据向量数量积解得角B，再根据三角形内角关系求角的取值范围，最后根据正弦函数性质求函数值域.【详解】（1），. 和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，解得 .由，解得. 函数的单调递增区间是.（2）在中，. ，即. . 当时，考察正弦函数的图像，可知，.，即函数的取值范围是.【点睛】已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.19.对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中（），若，且，.（1）求证数列为等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若（），求，其中：。【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）结合条件求得，再根据等差数列定义得结论，（2）根据等差数列通项公式求得，即得数列的通项公式，（3）代入化简，并利用裂项相消法得，再根据极限定义得结果.【详解】（1）因为，所以，故数列为公差的等差数列；（2）；（3），则，；【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.20.平面直角坐标系中，为原点，射线与轴正半轴重合，射线是第一象限的角平分线，在上有点列，在上有点列，已知，.（1）求点，的值；（2）求，的坐标；（3）求面积的最大值，并说明理由。【答案】（1）；（2），；（3），理由见解析【解析】【分析】（1）根据向量的模的定义解得,根据向量坐标相等得，（2）根据等比数列定义得，根据等差数列定义得，（3）根据三角形面积公式得关系式，再根据作差法确定数列单调性，根据单调性确定面积最大值.【详解】（1）由题意设；（2）因为，,；（3），设，因为，为递增数列；为递减数列，则，所以；【点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件21.已知函数，其中（1）求出，并解方程；（2）设，证明，且；（3）设数列中，求的取值范围，使对任意成立。【答案】（1）答案见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据行列式求得，代入化简得，解对数方程得结果，（2）化简不等式得,结合条件得证，将自变量代入函数解析式化简可得（3）分奇偶讨论，结合（2）对a,x分别赋值，得当时，；当时，据此可得数列周期性，再根据单调性确定满足的条件，解不等式可得结果.【详解】（1）因为，所以，则；（2）因为恒成立，恒成立，故，所以，得证；（3）由（2）知，当时，；当时，因此，又因为在上单调递增，所以若，则恒成立，于是：；【点睛】本题考查数列周期、函数单调性，考查综合分析与化简求解能力.属于难题.