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课时跟踪检测(八) 等差数列的性质层级一学业水平达标1在等差数列an中,已知a4a816,则a2a10()A12B16C20 D24解析:选B因为数列an是等差数列,所以a2a10a4a816.2在等差数列an中,a1a910,则a5的值为()A5 B6C8 D10解析:选A由等差数列的性质,得a1a92a5,又a1a910,即2a510,a55.3下列说法中正确的是()A若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列B若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列C若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列D若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列解析:选C因为a,b,c成等差数列,则2bac,所以2b4ac4,即2(b2)(a2)(c2),所以a2,b2,c2成等差数列4在等差数列an中,a12,a3a510,则a7()A5 B8C10 D14解析:选B由等差数列的性质可得a1a7a3a510,又a12,所以a78.5等差数列an中, a2a5a89,那么方程x2(a4a6)x100的根的情况()A没有实根 B两个相等实根C两个不等实根 D无法判断 解析:选A由a2a5a89得a53,a4a66,方程转化为x26x100.因为1,则a1a2m1_.解析:因为数列an为等差数列,则 am1am12am,则am1am1a10可化为2ama10,解得am1,所以a1a2m12am2.答案:29在等差数列an中,若a1a2a530,a6a7a1080,求a11a12a15.解:法一:由等差数列的性质得a1a112a6,a2a122a7,a5a152a10.(a1a2a5)(a11a12a15)2(a6a7a10)a11a12a152(a6a7a10)(a1a2a5)28030130.法二:数列an是等差数列,a1a2a5,a6a7a10,a11a12a15也成等差数列,即30,80,a11a12a15成等差数列30(a11a12a15)280,a11a12a15130.10有一批影碟机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售甲商场用如下的方法促销:买一台单价为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售某单位购买一批此类影碟机,问去哪家商场买花费较少解:设单位需购买影碟机n台,在甲商场购买每台售价不低于440元,售价依台数n成等差数列设该数列为anan780(n1)(20)80020n,解不等式an440,即80020n440,得n18.当购买台数小于等于18台时,每台售价为(80020n)元,当台数大于18台时,每台售价为440元到乙商场购买,每台售价为80075%600元作差:(80020n)n600n20n(10n),当n10时,600n(80020n)n,当n10时,600n(80020n)n,当10n18时,(80020n)n18时,440n600n.即当购买少于10台时到乙商场花费较少,当购买10台时到两商场购买花费相同,当购买多于10台时到甲商场购买花费较少层级二应试能力达标1已知等差数列an:1,0,1,2,;等差数列bn:0,20,40,60,则数列anbn是()A公差为1的等差数列 B公差为20的等差数列C公差为20的等差数列 D公差为19的等差数列解析:选D(a2b2)(a1b1)(a2a1)(b2b1)12019.2已知数列an为等差数列且a1a7a134,则tan(a2a12)的值为()A. BC D解析:选D由等差数列的性质得a1a7a133a74,a7.tan(a2a12)tan(2a7)tan tan .3若方程(x22xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|mn|()A1 B.C. D.解析:选C设方程的四个根a1,a2,a3,a4依次成等差数列,则a1a4a2a32,再设此等差数列的公差为d,则2a13d2,a1,d,a2,a31,a4,|mn|a1a4a2a3|.4九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A1升 B.升C.升 D.升解析:选B设所构成的等差数列an的首项为a1,公差为d,则有即解得则a5a14d,故第5节的容积为升5已知an为等差数列,且a64,则a4a7的最大值为_解析:设等差数列的公差为d,则a4a7(a62d)(a6d)(42d)(4d)2(d1)218,即a4a7的最大值为18.答案:186已知数列an满足a11,若点在直线xy10上,则an_.解析:由题设可得10,即1,所以数列是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式n,所以ann2.答案:n27数列an为等差数列,bnan,又已知b1b2b3,b1b2b3,求数列an的通项公式解:b1b2b3a1a2a3,b1b2b3a1a2a3,a1a2a33.a1,a2,a3成等差数列,a21,故可设a11d,a31d,由1d1d,得2d2d,解得d2或d2.当d2时,a11d1,an12(n1)2n3;当d2时,a11d3,an32(n1)2n5.8下表是一个“等差数阵”:47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值;(2)写出aij的计算公式,以及2 017这个数在“等差数阵”中所在的一个位置解:通过每行、每列都是等差数列求解(1)a45表示数阵中第4行第5列的数先看第1行,由题意4,7,a15,成等差数列,公差d743,则a154(51)316.再看第2行,同理可得a2527.最后看第5列,由题意a15,a25,a45成等差数列,所以a45a153d163(2716)49.(2)该“等差数阵“的第1行是首项为4,公差为3的等差数列a1j43(j1);第2行是首项为7,公差为5的等差数列a2j75(j1);第i行是首项为43(i1),公差为2i1的等差数列,aij43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j.要求2 017在该“等差数阵”中的位置,也就是要找正整数i,j,使得i(2j1)j2 017,j.又jN*,当i1时,得j672.2 017在“等差数阵”中的一个位置是第1行第672列
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