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线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行(列)展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1. 行列式的计算: (定义法) (降阶法)行列式按行(列)展开定理: 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其相应的代数余子式的乘积之和.推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的相应元素的代数余子式乘积之和等于零. (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 若都是方阵(不必同阶),则 关于副对角线: 范德蒙德行列式: 型公式: (升阶法)在原行列式中增长一行一列,保持原行列式不变的方法. (递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系称为递推公式,其中 ,等结构相同,再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行(或列)的元素写成两数和的形式,再运用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 使问题简化以例计算. (数学归纳法) 2. 对于阶行列式,恒有:,其中为阶主子式;3. 证明的方法:、;、反证法;、构造齐次方程组,证明其有非零解;、运用秩,证明;、证明0是其特性值.4. 代数余子式和余子式的关系:第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作:或 同型矩阵:两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等: 两个矩阵同型,且相应元素相等. 矩阵运算 a. 矩阵加(减)法:两个同型矩阵,相应元素相加(减). b. 数与矩阵相乘:数与矩阵的乘积记作 或,规定为. c. 矩阵与矩阵相乘:设, ,则, 其中 注:矩阵乘法不满足:互换律、消去律, 即公式不成立. a. 分块对角阵相乘:, b. 用对角矩阵乘一个矩阵,相称于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量; c. 用对角矩阵乘一个矩阵,相称于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量. d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的相应元素相乘. 方阵的幂的性质:, 矩阵的转置:把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做的转置矩阵,记作. a. 对称矩阵和反对称矩阵: 是对称矩阵 .是反对称矩阵 . b. 分块矩阵的转置矩阵: 随着矩阵: ,为中各个元素的代数余子式. , . 分块对角阵的随着矩阵: 矩阵转置的性质:矩阵可逆的性质:随着矩阵的性质:(无条件恒成立)2. 逆矩阵的求法 方阵可逆 .随着矩阵法 : 初等变换法 分块矩阵的逆矩阵: , 配方法或者待定系数法 (逆矩阵的定义)3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线,线的下方全为;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是时, 称为行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加(或消法)变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式()()() 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系: 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘; 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘. 注意: 初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 5. 矩阵的秩 关于矩阵秩的描述: 、,中有阶子式不为0,阶子式 (存在的话) 所有为0; 、,的阶子式所有为0; 、,中存在阶子式不为0; 矩阵的秩的性质: ; ; 若、可逆,则; 即:可逆矩阵不影响矩阵的秩. 若; 若 等价标准型. , , 求矩阵的秩:定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法():设法化成 第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表达2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的鉴定6. 线性方程组的解的结构(通解) (1)齐次线性方程组的解的结构(基础解系与通解的关系) (2)非齐次线性方程组的解的结构(通解)1. 线性表达:对于给定向量组,若存在一组数使得, 则称是的线性组合,或称称可由的线性表达.线性表达的判别定理: 可由的线性表达 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程: 、有解 、 、(所有按列分块,其中); 、(线性表出) 、有解的充要条件:(为未知数的个数或维数)2. 设的列向量为,的列向量为, 则 , 为的解 可由线性表达. 即:的列向量能由的列向量线性表达,为系数矩阵.同理:的行向量能由的行向量线性表达,为系数矩阵.即: 3. 线性相关性判别方法: 法1 法2法3推论 线性相关性判别法(归纳) 线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关;单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关;整体无关,部分必无关. (向量个数变动) 原向量组无关,接长向量组无关;接长向量组相关,原向量组相关. (向量维数变动) 两个向量线性相关相应元素成比例;两两正交的非零向量组线性无关. 向量组中任历来量都是此向量组的线性组合. 若线性无关,而线性相关,则可由线性表达,且表达法唯一4. 最大无关组相关知识向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数,称为这个向量组的秩.记作 矩阵等价 通过有限次初等变换化为. 向量组等价 和可以互相线性表达. 记作: 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行(列)向量间的线性关系 向量组可由向量组线性表达,且,则线性相关.向量组线性无关,且可由线性表达,则. 向量组可由向量组线性表达,且,则两向量组等价; 任历来量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一拟定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 设是矩阵,若,的行向量线性无关;5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式 向量式 其中 (1)解得判别定理(2)线性方程组解的性质: (3) 判断是的基础解系的条件: 线性无关; 都是的解; .(4) 求非齐次线性方程组Ax = b的通解的环节 (5)其他性质 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若是的一个解,是的一个解线性无关 与同解(列向量个数相同), 且有结果: 它们的极大无关组相相应,从而秩相等; 它们相应的部分组有同样的线性相关性; 它们有相同的内在线性关系. 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解(左乘可逆矩阵); 矩阵与的列向量组等价(右乘可逆矩阵).第四部分 方阵的特性值及特性向量1. 施密特正交化过程2. 特性值、特性向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化,特别是对称阵的相似对角化1. 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量与的内积 . 记为: 向量的长度 是单位向量 . 即长度为的向量.2. 内积的性质: 正定性: 对称性: 线性性: 3. 设A是一个n阶方阵, 若存在数和n维非零列向量, 使得 , 则称是方阵A的一个特性值,为方阵A的相应于特性值的一个特性向量. 的特性矩阵 (或). 的特性多项式 (或). 是矩阵的特性多项式 ,称为矩阵的迹. 上三角阵、下三角阵、对角阵的特性值就是主对角线上的各元素. 若,则为的特性值,且的基础解系即为属于的线性无关的特性向量. 一定可分解为=、,从而的特性值 为:, . 为各行的公比,为各列的公比. 若的所有特性值,是多项式,则: 若满足的任何一个特性值必满足的所有特性值为;. 与有相同的特性值,但特性向量不一定相同.4. 特性值与特性向量的求法 (1) 写出矩阵A的特性方程,求出特性值. (2) 根据得到 A 相应于特性值的特性向量. 设的基础解系为 其中. 则A 相应于特性值的所有特性向量为 其中为任意不全为零的数. 5. 与相似 (为可逆矩阵) 与正交相似 (为正交矩阵) 可以相似对角化 与对角阵相似.(称是的相似标准形)6. 相似矩阵的性质: ,从而有相同的特性值,但特性向量不一定相同.是关于的特性向量,是关于的特性向量. 从而同时可逆或不可逆 若与相似, 则的多项式与的多项式相似.7. 矩阵对角化的鉴定方法 n 阶矩阵A可对角化 (即相似于对角阵) 的充足必要条件是A有n个线性无关的特性向量. 这时,为的特性向量拼成的矩阵,为对角阵,主对角线上的元素为的特性值. 设为相应于的线性无关
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