第7章 不等式、推理与证明全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制12个小题，分值510分2.考查内容(1)小题主要考查：一元二次不等式的解法、简单的线性规划中线性目标函数的最值求法、简单的逻辑推理题等(2)大题主要考查：应用基本不等式求最值(或范围)、运用演绎推理、直接证明与间接证明以及数学归纳法证明代数或几何问题3.备考策略从2019年高考试题可以看出，高考对简单线性规划的考查会逐渐趋于淡化，对于推理与证明的思想运用会进一步加强.第一节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图1两个实数比较大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(5)乘方法则：ab0anbn(n2，nN)；(6)开方法则：ab0(n2，nN)；(7)倒数性质：设ab0，则a.3“三个二次”的关系判别式b24ac000)的图像一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1xx21若ab0，m0，则；若ba0，m0，则.2(xa)(xb)0或(xa)(xb)0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间3恒成立问题的转化：af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.4能成立问题的转化：af(x)能成立af(x)min；af(x)能成立af(x)max.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1函数f(x)的定义域为()A0,3B(0,3)C(，03，) D(，0)(3，)A要使函数f(x)有意义，则3xx20，即x23x0，解得0x3.2设A(x3)2，B(x2)(x4)，则A与B的大小关系为()AABBABCABDABBAB(x3)2(x2)(x4)x26x9x26x810，AB，故选B.3设ba，dc，则下列不等式中一定成立的是()AacbdBacbdDadbcC由同向不等式具有可加性可知C正确4若不等式ax2bx20的解集为，则ab_.14由题意知x1，x2是方程ax2bx20的两个根，则解得(经检验知满足题意)ab14.考点1比较大小与不等式的性质比较大小的5种常用方法(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较(4)不等式的性质法(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论1.若a，b，cR，且ab，则下列不等式一定成立的是()AacbcB(ab)c20CacbcDB(不等式的性质法)a，b，cR，且ab，可得ab0，因为c20，所以(ab)c20.故选B.2若a0，b0，则p与qab的大小关系为()ApqDpqB法一： (作差法)pqab(b2a2)，因为a0，b0，所以ab0.若ab，则pq0，故pq；若ab，则pq0，故pq.综上，pq.故选B.法二： (特殊值排除法)令ab1，则pq2，排除选项A、C; 令a1，b2，则pq，排除选项D.故选B.3(2019全国卷)若ab，则()Aln(ab)0B3a3bCa3b30D|a|b|C法一：由函数yln x的图像(图略)知，当0ab1时，ln(ab)b时，3a3b，故B不正确；因为函数yx3在R上单调递增，所以当ab时，a3b3，即a3b30，故C正确；当ba0时，|a|b|，故D不正确故选C.法二：当a0.3，b0.4时，ln(ab)0,3a3b，|a|b|，故排除A，B，D.故选C.4设f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，则f(2)的取值范围是_5,10法一：(待定系数法)设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法二：(运用方程思想)由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三：(借助线性规划)由确定的平面区域如图阴影部分所示，当f(2)4a2b过点A时，取得最小值425，当f(2)4a2b过点B(3,1)时，取得最大值432110，5f(2)10.(1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T2，T3.(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T1，T4.考点2一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤解下列不等式：(1)32xx20；(2)ax2(a1)x10(aR)解(1)原不等式化为x22x30，即(x3)(x1)0，故所求不等式的解集为x|1x3(2)若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0得x1；当0a1，解 (x1)0得1x.综上所述：当a1；当0a1时，解集为.母题探究将本例(2)中不等式改为x2(a1)xa0(aR)，求不等式的解集解原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a0的解集为，则不等式bx25xa0的解集为()A.B.Cx|3x2Dx|x2C由题意知a0，且，是方程ax25xb0的两根，解得bx25xa5x25x300，即x2x60，解得3xa2(aR)解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0，0不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_(2,2当a20，即a2时，不等式即为40，对一切xR恒成立，当a2时，则有即2a2.综上，可得实数a的取值范围是(2,2本题在求解中常因忽略“a20”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A(3,0)B3,0)C3,0D(3,0D当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数