高等数学复习教程第一讲 函数、持续与极限一、理论规定1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常用函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.持续函数持续（左、右持续）与间断理解并会应用闭区间上持续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对持续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替代法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替代法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其她（微积分性质，数列与级数的性质） 1.（等价小量与洛必达）2.已知解： （洛必达）3. （重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替代）5.解：令（变量替代）6.设持续，求 （洛必达与微积分性质）7.已知在x=0持续，求a解：令 （持续性的概念）三、补充习题（作业） 1. （洛必达）2. （洛必达或Taylor）3. （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论规定1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明有关问题3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求2.决定，求解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=13.决定，则 B.曲线切法线问题 4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。解：5.f(x)为周期为5的持续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。解：需求，等式取x-0的极限有：f(1)=0C.导数应用问题 6.已知，求点的性质。解：令，故为极小值点。7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域8.求函数的单调性与极值、渐进线。解：，D.幂级数展开问题 9.或：10.求解：= E.不等式的证明 11.设，证：1）令 2）令F.中值定理问题 12.设函数具有三阶持续导数，且，求证：在（-1，1）上存在一点证：其中将x=1，x=-1代入有两式相减：13.，求证： 证：令令 （核心：构造函数）三、补充习题（作业）1.2.曲线3.4.证明x0时 证：令 第三讲 不定积分与定积分一、理论规定1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部）2.定积分 理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法A.积分计算 1.2.3.设，求解：4.B.积分性质 5.持续，,且，求并讨论在的持续性。解： 6. C.积分的应用 7.设在0，1持续，在（0，1）上，且，又与x=1,y=0所围面积S=2。求，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。解： 8.曲线，过原点作曲线的切线，求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。解：切线绕x轴旋转的表面积为 曲线绕x轴旋转的表面积为 总表面积为三、补充习题（作业）1.2.3.第四讲 向量代数、多元函数微分与空间解析几何一、理论规定1.向量代数 理解向量的概念（单位向量、方向余弦、模）理解两个向量平行、垂直的条件向量计算的几何意义与坐标表达2.多元函数微分 理解二元函数的几何意义、持续、极限概念，闭域性质理解偏导数、全微分概念能纯熟求偏导数、全微分纯熟掌握复合函数与隐函数求导法3.多元微分应用 理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值4.空间解析几何 掌握曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的求法会求平面、直线方程与点线距离、点面距离二、题型与解法A.求偏导、全微分 1.有二阶持续偏导，满足，求解：2.3.，求B.空间几何问题 4.求上任意点的切平面与三个坐标轴的截距之和。解：5.曲面在点处的法线方程。C.极值问题 6.设是由拟定的函数，求的极值点与极值。三、补充习题（作业）1.2.3. 第五讲 多元函数的积分一、理论规定1.重积分 熟悉二、三重积分的计算措施（直角、极、柱、球）会用重积分解决简朴几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）2.曲线积分 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算措施熟悉Green公式，会用平面曲线积分与途径无关的条件3.曲面积分 理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分二、题型与解法A.重积分计算 1.为平面曲线绕z轴旋转一周与z=8的围域。解：2.为与围域。（3.，求 (49/20)B.曲线、曲面积分 4. 解：令 5.,。解：取涉及(0,0)的正向， 6.对空间x0内任意光滑有向闭曲面S， ，且在x0有持续一阶导数，,求。解： 第六讲 常微分方程一、理论规定1.一阶方程 纯熟掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法2.高阶方程 会求3.二阶线性常系数 (齐次)(非齐次)(非齐次)二、题型与解法A.微分方程求解 1.求通解。（2.运用代换化简并求通解。（）3.设是上凸持续曲线，处曲率为，且过处切线方程为y=x+1，求及其极值。解：三、补充习题（作业）1.已知函数在任意点处的增量。(）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七讲 无穷级数一、理论规定1.收敛性鉴别 级数敛散性质与必要条件常数项级数、几何级数、p级数敛散条件正项级数的比较、比值、根式鉴别法交错级数鉴别法2.幂级数 幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法幂级数在收敛区间的基本性质（和函数持续、逐项微积分）Taylor与Maclaulin展开3.Fourier级数 理解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理会求的Fourier级数与正余弦级数第八讲 线性代数一、理论规定1.行列式 会用按行（列）展开计算行列式2.矩阵 几种矩阵（单位、数量、对角、三角、对称、反对称、逆、随着）矩阵加减、数乘、乘法、转置，方阵的幂、方阵乘积的行列式矩阵可逆的充要条件，会用随着矩阵求逆矩阵初等变换、初等矩阵、矩阵等价用初等变换求矩阵的秩与逆理解并会计算矩阵的特性值与特性向量理解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的冲要条件掌握将矩阵化为相似对角矩阵的措施掌握实对称矩阵的特性值与特性向量的性质3.向量 理解n维向量、向量的线性组合与线性表达掌握线性有关、线性无关的鉴别理解并向量组的极大线性无关组和向量组的秩理解基变换与坐标变换公式、过渡矩阵、施密特措施理解规范正交基、正交矩阵的概念与性质4.线性方程组 理解齐次线性方程组有非零解与非齐次线性方程组有解条件理解齐次、非齐次线性方程组的基本解系及通解掌握用初等行变换求解线性方程组的措施5.二次型 二次型及其矩阵表达，合同矩阵与合同变换二次型的原则形、规范形及惯性定理掌握用正交变换、配措施化二次型为原则形的措施理解二次型的相应矩阵的正定性及其鉴别法第九讲 概率记录初步一、理论规定1.随机事件与概率理解样本空间（基本领件空间）的概念，理解随机事件的关系与运算会计算古典型概率与几何型概率掌握概率的加减、乘、全概率与贝叶斯公式2.随机变量与分布理解随机变量与分布的概念理解分布函数、离散型随机变量、持续型变量的概率密度掌握0-1、二项、超几何、泊松、均匀、正态、指数分布，会求分布函数3.二维随机变量理解二维离散、持续型随机变量的概率分布、边沿分布和条件分布理解随机变量的独立性及不有关概念掌握二维均匀分布、理解二维正态分布的概率密度会求两个随机变量简朴函数的分布4.数字特性理解盼望、方差、原则差、矩、协方差、有关系数的概念掌握常用分布函数的数字特性，会求随机变量的数学盼望5.大数定理理解切比雪夫不等式，理解切比雪夫、伯努利、辛钦大数定理理解隶莫弗-Laplace定理与列维-林德伯格定理6.数理记录概念理解总体、简朴随机样本、记录量、样本均值、样本方差及样本矩理解分布、t分布、F分布的概念和性质，理解分位数的概念理解正态分布的常用抽样分布7.参数估计掌握矩估计与极大似然估计法理解无偏性、有效性与一致性的概念，会验证估计量的无偏性会求单个正态总体的均值和方差的置信区间8.假设检查掌握假设检查的基本环节理解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检查第十讲 总结1.极限求解变量替代（作对数替代），洛必达法则，其她（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替代）1. (几何级数)2. (对数替代)3.4.5.6.，求2.导数与微分复合函数、隐函数、参数方程求导1.2.，求dy/dx3.决定函数，求dy4.已知，验证5.,求3.一元函数积分1.求函数在区间上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函数微分1.，求2.由给出，求证：3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求6.证明满足7.求内的最值。5.多元函数积分1.求证：2.3.4.变化积分顺序5.围域。6.常微分方程1.求通解。2.求通解。3.求通解。4.求通解。5.求特解。6.求特解。高等数学考研题型分析 填空题：极限（指数变换，罗必达）、求导（隐函数，切法线）、不定积分、二重积分、变上限定积分选择题：等价小量概念，导数应用，函数性质，函数图形，多元极限计算题：中值定理或不等式，定积分几何应用，偏导数及几何应用，常微分方程及应用