2.1圆锥曲线椭圆的定义取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖问题1：若绳长等于两点F1、F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长L大于两点F1、F2的距离移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？提示：MF1MF2L.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点(2)焦距：两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.双曲线的定义2011年3月16日，中国海军第7批、第8批护航编队“温州号”导弹护卫舰，“马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域高船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰哨兵相距1 600 m的“温州号”舰，3 s后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“马鞍山”舰和“温州号”舰所在的位置，点M表示快艇的位置问题1：“温州号”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？提示：MBMA34031 020(m)问题2：把快艇作为一个动点，它的轨迹是双曲线吗？提示：不是平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线问题1：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线问题2：DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？提示：是AB是Rt的一条直角边问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？提示：DADC.1一般地，平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线2椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线1圆锥曲线定义用集合语言可描述为：(1)椭圆PM|MF1MF22a,2aF1F2；(2)双曲线PM|MF1MF2|2a,2aF1F26，m2，当m2时，M的轨迹是椭圆一点通深刻理解圆锥曲线的定义是解决此类问题的前提，一定要注意定义中的约束条件：(1)在椭圆中，和为定值且大于F1F2；(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于F1F2；(3)在抛物线中，点F不在定直线上1命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和 PAPB2a(a0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的_条件解析：若P点轨迹是椭圆，则PAPB2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若PAPB2a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的这是因为：仅当2aAB时，P点轨迹才是椭圆；而当2aAB时，P点轨迹是线段AB；当2aAB时，P点无轨迹， 甲不是乙的充分条件综上，甲是乙的必要而不充分条件答案：必要不充分2动点P到两个定点A(2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是10，则点P的轨迹是_解析：由题意知：PAPBAB10，又AB4，PAPB64.点P的轨迹是椭圆答案：椭圆圆锥曲线的应用例2设F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从某一焦点引F1QF2的平分线的垂线，垂足是P，那么点P的轨迹是什么曲线？思路点拨利用双曲线的定义，结合平面图形的性质判断精解详析如图所示，点Q在双曲线的右支上，有QF1QF22a.延长F1P、QF2交于L.F1QPLQP，QPF1P，F1QQL，代入，则QLQF22a，即F2L2a.取线段F1F2中点O，则由P是F1L中点有POF2L2aa.P的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆一点通当点在圆锥曲线上时，点一定满足圆锥曲线的定义，如本题中，点Q在双曲线上，则有QF1QF22a，这是定义的要求另外利用平面图形的性质解题是解析几何中很常见的解题思想3平面内到两定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的和为3的点的轨迹是_解析：F1F223，点P的轨迹是椭圆答案：椭圆4已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，试判断动圆圆心M的轨迹解：设圆M的半径为r，由题意，得MC11r，MC23r.MC2MC12C1C2，圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支5已知定点P(0,3)和定直线l：y30，动圆M过P点且与直线l相切求证：圆心M的轨迹是一条抛物线解：直线y30与圆相切，圆心M到直线y30的距离为圆的半径r.又圆过点P(0,3)，rMP，动点M到点P(0,3)的距离等于到定直线y30的距离，动点M的轨迹是以点P(0,3)为焦点，以直线y30为准线的抛物线椭圆定义中常数为动点到两焦点的距离之和，由三角形中两边之和大于第三边知，应要求常数大于焦距双曲线定义中常数为动点到两焦点的距离之差的绝对值，由三角形中两边之差小于第三边知，应要求常数小于焦距对应课时跟踪训练(七) 1平面内到一定点F和到一定直线l(F在l上)的距离相等的点的轨迹是_答案：过点F且垂直于l的直线2设F1、F2为定点，PF1PF25，F1F28，则动点P的轨迹是_解析：58，满足双曲线的定义，轨迹是双曲线答案：双曲线3以F1、F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1、F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1P2F2，则P2F1_.解析：P2在椭圆上，P2F1P2F210，又P2F1P2F2，P2F15.答案：54平面内动点P到两定点F1(2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是_解析：由题意可知，|m|4，且m0，4m4，且m0.答案：(4,0)(0,4)5已知椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之和为20，则PF1PF2的最大值为_解析：PF1PF220，PF1PF2()2()2100.答案：1006已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F作直线与抛物线相交于A、B两点，试判断以AB为直径的圆与l的位置关系解：如图，取AB的中点O2，过A、B、O2分别作AA1l，BB1l，O2O1l，根据抛物线的定义，知AA1AF，BB1BF，O2O1R(R为圆的半径)，以AB为直径的圆与l相切7动点P(x，y)的坐标满足8.试确定点P的轨迹解：设A(2,0)，B(2,0)，则表示PA，表示PB，又AB4，PAPB84，点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆8在相距1 600 m 的两个哨所A，B，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间早3 s试判断爆炸点在怎样的曲线上？解：由题意可知点P离B比离A远，且PBPA34031 020 m，而AB1 600 m1 020 m，满足双曲线的定义，爆炸点应在以A，B为焦点的双曲线的靠近A的一支上- 6 -