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第二章 函数同步辅导第一讲映射与函数一、辅导内容 1 映射、一一映射的定义和概念的理解2 函数的定义、表达。3 函数的三要素及函数的体现措施。二、重点、难点解说 1映射、一一映射 (1)集合A到集合B的映射有三个要素,即集合A、集合B和相应法则.其中集合A和集合是有先后顺序的,由于一般状况下A到B的映射和B到A的映射是不同的映射.而对于集合A和集合B的元素是什么,映射的定义未对此作具体规定,它们的元素可以是数,可以是点,也可以是其她对象.f1f2 (2)一种相应要满足下面两个条件才干称为集合A到集合B的映射:集合A中的每一种元素(一种不漏地)在集合B中均有象(但集合B中的每一种元素不一定均有原象);集合A中的每一种元素在集合B中的象只有唯一的一种(集合B中的元素在集合A中的原象也许不止一种).也就是说,图1和图2所示的两种相应不能称为映射.AB图1AB图2 (3)对于上述映射,如果加上一种条件,规定集合B中的每一种元素在集合A中均有原象,则这样的映射称为“集合A到集合B上的映射”.如果在此基本上再加上一种条件,规定集合B中的每一种元素在集合A中的原象只有唯一的一种,则这样的映射称为“集合A到集合B上的一一映射”.12345abcdeBA例1 如图3,集合A=1、2、3、4、5,B=、.判断下列相应中,(1)哪些是集合A到集合B的映射;(2)哪些是集合A到集合B上的映射;(3)哪些是集合A到集合B上的一一映射.12345abcdeAB图312345abcdeBA12345abcdeBA解(1)和是集合A到集合B的映射,中集合A的元素3在集合中没有象;中集合A的元素3在集合B中有两个象,它们都不是映射.(2)是集合A到集合B上的映射.中集合B的元素b在集合A中没有原象.(3)是集合A到集合B上的一一映射.例2 已知集合A=,B=.判断下列各相应f与否是集合A到集合B的映射?一一映射?并阐明理由. (1):; (2) :; (3) :; (4) :; (5) :解 (1), . 因此对集合A的每一种元素, ,因此相应:是集合A到集合B的映射. 对于集合B中的每一种元素,由及,有.即集合B中的每一种元素在集合A中均有原象,且这样的原象只有一种,因此相应:是一一映射. (2), .因此对于集合A中的每一种元素,在集合B中均有唯一的象,因此相应:是映射. 而集合B中有些元素,如,在集合A中没有原象,因此映射:不是一一映射. (3), , .由此知集合A的某些元素,如,在集合B中没有象,因此相应:不是映射,更不是一一映射. (4), .因此对于集合A中的每一种元素,在集合B中均有唯一的象,因此相应:是映射.由,对于集合B中的每一种元素,即集合B中的每一种元素在集合A中有唯一的原象,因此映射:是一一映射.(5)集合A中的每一种元素在集合B中均有唯一的象.对于集合A中的元素和,都相应于集合B中的同一种元素,因此相应:是映射,但不是一一映射.2. 函 数(1)函数的定义. 在初中学过的函数概念是从运动变化的角度出发,用变量来定义的,习惯上称为老式定义.老式定义由研究变量的物理意义而产生,反映了两个变量之间变化的相依关系.由于受变量物理意义的限制,对某些函数难以进行研究,由于有些函数从物理的角度不好解释.因此高中学习函数时重新引进了用映射刻划函数的近代定义,它更具有一般性.固然,两种定义的本质是同样的. 集合A到集合B的映射:要成为函数,还必须满足两个条件:集合A、B都是非空集合;集合A、B都是数的集合.其中集合A就是函数的定义域,而集合B不一定是值域.一般地说,值域C是集合B的子集,即.(若集合,则这个映射就成为集合A到集合B上的映射).(2)函数的三要素. 定义域A,值域C和定义域A到值域C的相应法则,构成了函数的三个要素.当且仅当这三个要素完全相似时,两个函数才是同一种函数. 在判断两个函数与否同一函数时,重要观测它们的定义域和相应法则与否相似.(3)区间 设、,且.用闭区间表达集合,用开区间表达集合,用半开半闭区间表达集合,用半开半闭区间表达集合.(4)函数的表达法. 函数常用的表达法有:解析法,列表法及图像法,三种表达法各有其长处. 要弄清符号和(为常数)的区别.一般状况下,是一种随自变量的变化而变化的变量,而是当自变量时函数的值,是一种拟定的量. 与初中接触到的函数不同样,这里的函数可以是在不同区间中(或不同条件下)体现式不同的分段函数,因此函数的图像也不一定是一条平滑曲线,它也许是某些孤立的点,某些线段,或某些曲线.例3 判断下列各对函数与否是同一种函数,并阐明理由. (1) , ; (2) , ; (3) , ; (4) , (5) , ; (6) , .解 (1)不是同一种函数,两者的定义域不同, 它们的定义域分别为和. (2)不是同一种函数,它们的相应法则和值域都不同. ,其值域为; ,其值域为. (3)不是同一种函数,它们的定义域不同.定义域分别为和. (4)不是同一种函数,它们的定义域不同,定义域分别是和. (5)是同一种函数, . (6)是同一种函数,虽然自变量用不同的字母表达,但定义域、值域和相应法则都相似.例4 已知 , ,求 和 .解 =. =.评析 由此可见,在求时,只要用替代体现式中的,然后再将的体现式代入其中,就可以求得.一般来说,.(x 0),(x = 0),(x 0),例5 (1)已知 求,;(2)已知 且, 求.解 (1), . , . . . (2)当; 当;当 . 例6 (1)画出函数的图像; (2)画出函数的图像; (3)已知函数的图像如右图,写出的解析式.解 (1) 图74 图像如下图左. (2)当,即或时,;当,即时,. 图像如下图右.(3)评析 (1)对于具有绝对值的函数的图像,一般先用零点分区间法得出函数的解析式,然后以分段函数的形式写出函数的解析式,再画出函数的图像.(2)由第(2)题可见,画的图像,只要把的图像在轴下方部分“翻到”轴上方,即作出这一部分图像有关轴的对称曲线,而在轴上方的曲线保持不变,就可以得到函数的图像.(3)函数的定义域如果没有特别阐明,一般指使式子故意义的一切自变量的集合,在实际问题中,还应考虑自变量要满足的实际问题的条件. 我们目前波及到的使式子故意义的状况,仅是分母不能为零,负数不能开偶次方.此后学习了其她函数,还会浮现此外某些状况.例7 求下列函数的定义域: (1) ; (2) ; (3) .解 (1) 定义域为. (2)由 由, ; 由, . 定义域为 . (3) . 定义域为. 评析 对于繁分式,一条分数线即有一种限制条件,本题有三条分数线,因此有三个限制条件. 例8 已知函数的定义域为-1,2,求函数的定义域. 解 由中的必须满足,因此中的必须满足: 即 的定义域为 . 例9 (1)已知,求 ; (2)已知函数 的定义域是 ,且,求; (3)已知 ,求.解 (1)设,则 , , .(2)由, 将换成, 得, 32 ,得 ,. (x0)(3)令,则 .例10 设 画出函数的图像.解 由已知,图像如图所示.练 习一、选择题1设是从集合A到集合B的映射,下列四个说法:集合A中的每一种元素在集合B中均有象;集合B中的每一种元素在集合A中均有原象;集合A中不同的元素在集合B中的象也不同;集合B中不同的元素在集合A中的原象也不同,其中对的的是 ( ) A和 B和 C和 D和2已知集合A=,B=,则下列相应关系中,不能当作是从集合A到集合B的映射的是 ( ) A: B: C: D:3下列三个命题:函数是从定义域到值域的一一映射;函数的定义域和值域也许是数集,也也许不是数集;函数的定义域和值域都不能是空集.其中真命题是 ( ) A B C D和4下列各组函数:,;,;,;,.其中和表达同一种函数的是 ( ) A B和 C D5函数的定义域是 ( ) A B C D6已知函数的定义域是,则函数的定义域为 ( ) A B C D二、填空题7已知在映射下的象是,则在
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