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福建师范大学21秋复变函数期末考核试题及答案参考1. 用图解法解下面线性规划问题 max S=x1+x2用图解法解下面线性规划问题max S=x1+x2满足约束条件的点为如下图所示的阴影部分,其中BA和CD可延伸到无穷远,所以可行域无界作出等值线x1+x2=0,因为目标函数的截距式为x2=-x1+S(S前面符号为正号),所以增值方向是使截距向上平移的方向由于可行域无界,所以等值线簇可以无限远离原点,目标函数无上界,从而该问题有可行解但无最优解 另外,由图可知,该线性规划问题有最小值的最优解,其对应点就是无界区域ABCD的一个顶点C(1,0),此时最优值为1 2. 模D=1,2,3是Z7的一个(7,3,1)差集。( )模D=1,2,3是Z7的一个(7,3,1)差集。( )正确答案: 3. 极限( ) A2 B-2 C0 D不存在极限()A2B-2C0D不存在D4. 设1,2,n是取自总体的一个样本,B(1,p),其中p为未知,0p1 求总体参数的矩估计与最大似然估计设1,2,n是取自总体的一个样本,B(1,p),其中p为未知,0p1 求总体参数的矩估计与最大似然估计(1)矩估计法:因为B(1,p),1,1,n是取自总体的样本,知 E=p,D=p(1-p) 按矩估计法,用来估计p由1=E=p解得p=1,从而p的矩估计为 (2)最大似然估计法:设的分布律为 似然函数 令y=xi,有, 解得所以p的最大似然估计量为 5. 下列等式中是微分方程的有( ) Au&39;v+uv&39;=(uv)&39; By&39;-ex=cosx C Dy+3y&39;+下列等式中是微分方程的有()Auv+uv=(uv)By-ex=cosxCDy+3y+8y=4exBD选项(A)中,uv+uv=(uv)是求导公式,对于任何函数,左右两边恒等,因此不是微分方程; 选项(B)中,可将y视为关于x的未知函数,并且出现了y的导数形式,因此是微分方程; 选项(C)中,对于任何函数,左右两边恒等,因此不是微分方程 选项(D)中,可将y视为关于x的未知函数,并且出现了y的导数形式,因此是微分方程 6. 能被3整除的数是A、92.0B、102.0C、112.0D、122.0能被3整除的数是A、92.0B、102.0C、112.0D、122.0正确答案:B7. 证明函数当x0时无极限证明函数当x0时无极限所要求证的结论可由数列当n时趋于零,而f(xn)=(-1)n无极限推知8. 欧几里得算法又称辗转相除法。( )欧几里得算法又称辗转相除法。( )正确答案:9. 设A,B,C为任意集合,试证: (1)A(BC)=(AB)(AC); (2)A(BC)=(AB)(AC)设A,B,C为任意集合,试证:(1)A(BC)=(AB)(AC);(2)A(BC)=(AB)(AC)分析上述等式左边是表示先做括号内的并、交运算,再做笛卡尔乘积;而等式右边则表示先做括号内的笛卡尔乘积,再做并、交运算它们的结果应该是一样的,可以用笛卡尔乘积和并、交运算的定义及括号的优先级别来证明,这是集合等式证明中常见的一种基本方法 证明 (1)A(BC)=(x,y)| xA且yBC =(x,y) xA且yB或xA且yC =(x,y)|(x,y)AB或(x,y)AC =(x,y)|(x,y)(AB)(AC) =(AB)(AC); (2)A(BC)=(x,y)| xA且yBC =(x,y)| xA且yB且xA且yC =(x,y)|(x,y)AB且(x,y)AC =(x,y)|(x,y)(AB)(AC) =(AB)(AC) 10. 用推理规则证明下式: 前提:,W(y) 结论:S(x)用推理规则证明下式:前提:,W(y)结论:S(x)证明 (1)()(M(y)W(y) P (2)M(c)W(c) ES(1) (3)(M(c)W(c) T(2)E (4)()(M(y)W(y) DG(3) (5)()(M(y)W(y) T(4)E (6)()(F(x)S(x)()(M(y)W(y) P (7)()(F(x)S(x) T(5)(6)I (8)()(F(x)s(x) T(7)I (9)(F(a)S(a) US(8) (10)qF(a)VS(a) T(9)E (11)F(a)S(a) T(10)E (12)()(F(x)S(x) UG(11)上述(2)中利用ES规则所选的c,是指(1)中符合()所指定的那些个体,而不是个体域中其他无关的个体,这对后面推证的正确性很重要(7)中所推为丁,其来源为:由于(5)为T,对应(6)中蕴含式的后件就为F,而(6)本身为T,那么(6)的前件应为F,而(7)是(6)的前件取反,即为丁T 11. 设随机变量X的概率密度为,则E(X)=( ) A B C D设随机变量X的概率密度为,则E(X)=()ABCDA12. 设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则(m)等于什么?A、(m1)B、(m2)(m1)C、(m1)*(m1)D、(m2)*(m2)设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则(m)等于什么?A、(m1)B、(m2)(m1)C、(m1)*(m1)D、(m2)*(m2)正确答案: B13. 计算函数的导数:y=excosx计算函数的导数:y=excosxy=excosx+ex(-sinx)=ex(cosx-sinx)14. 描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时,Q_0;描述系统状态变化时的热力学能变与功和热的关系式是_。系统从环境吸热时,Q_0;系统对环境做功时W_0。正确答案:U=Q+W、15. 设某养老金计划参加者具体的存款方式为:在2529岁时,每月存款200元;在3039岁时,每月存款300元;在4049岁时设某养老金计划参加者具体的存款方式为:在2529岁时,每月存款200元;在3039岁时,每月存款300元;在4049岁时,每月存款500元;在5059岁时,每月存款1000元在年利率i=10%下,分别对不同年龄的计划参加者计算月退休金年利率i=10%,因此有,=271.0244, (1)恰好在25岁开始加入养老金计划,则60岁以后的月退休金为 即每月领取约10580元的退休金,直至80岁 (2)从30岁开始加入养老金计划,则60岁以后的月退休金为 即每月领取约8078元的退休金,直至80岁 (3)从40岁开始加入养老金计划,则60岁以后的月退休金为 即每月领取约4300元的退休金,直至80岁 16. 设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=_设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=_17. (1)设集合A=2,1,1,2,1,求幂集(A); (2)求幂集(A),其中A同(1)(1)设集合A=2,1,1,2,1,求幂集(A);(2)求幂集(A),其中A同(1)参考答案:18. 试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集试证明有限集A和可列集B的笛卡儿乘积AB是可列集根据题意A是有限集,则AN(N是自然数集)是可列集,可知(AN)B是可列集,而AB(AN)B,而AB是无限集,由于可列集的任何无限子集是可列的,故AB为可列集19. 设A=a1,a2,a3,a4,a5,R是A上的二元关系,其关系矩阵 试判断R是否是传递关系。设A=a1,a2,a3,a4,a5,R是A上的二元关系,其关系矩阵试判断R是否是传递关系。R是传递关系20. 设k(s,t),0s1,0t1,为0,10,1上的可测函数。假设 , 对xL20,1,令 ,0s1 求证:A为L20,1上的设k(s,t),0s1,0t1,为0,10,1上的可测函数。假设,对xL20,1,令,0s1求证:A为L20,1上的有界线性算子且A()1/2,且任取xL20,1有,0s1对于0s1,我们有 因此 我们注意到被积函数为非负的,故我们可以变换积分顺序。因此 所以有Ax()1/2。x对所有的xL20,1成立。这首先证明了任取xL20,1,有AxL20,1。然后表明A为有界的且A()1/2。又显然A为线性的,故A为L20,1上的有界线性算子。这就证明了第一部分。 为证第二部分,设 ,k2(s,t)=|k(s,t)|, 对于xL20,1,设 ,0s1, i=1,2 重复上面的证明,可知B1和B2为L20,1上的有界线性算子。若x,yL20,1,则 我们希望能够变换上面的积分顺序。由于,我们有 =(B2|x|),|y|, 上式为有限的,因为B2(|x|)及|y|都在L20,1中。因此我们可以应用Fubini定理来变换积分顺序: 这证明了B1=A* 21. 函数y=x21 的驻点是 x=_.函数y=x2-1 的驻点是 x=_.参考答案:022. 设(A,*)是一个半群,而且对于A中的元素a和b,如果ab必有a*bb*a,试证明:设(A,*)是一个半群,
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