专题学问回忆专题 圆的问题一、与圆有关的概念与规律 1圆：平面上到定点的距离等于定长的全部点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。圆的半 径或直径打算圆的大小，圆心打算圆的位置。2. 圆的性质：1圆具有旋转不变性； 2圆具有轴对称性；3圆具有中心对称性。3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 4推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 5圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 6在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，假设两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，假设两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。7. 圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。8. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 9半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径10. 点和圆的位置关系： 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 点在圆外 点到圆心的距离大于半径11. 过三点的圆：不在同始终线上的三个点确定一个圆。12. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距 离相等。 13假设四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接 圆。14. 圆内接四边形的特征：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。15. 直线与圆有 3 种位置关系：l假设O 的半径为r，圆心O 到直线 的距离为d，那么ldr 直线 和O 相离。16. 和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线的交点。内心到三角形三边的距离相等。17. 切线的性质（1） 经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2） 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3） 圆的切线垂直于经过切点的半径。18. 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。19. 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。20. 设圆O 的半径为r，圆O 的半径为r ，两个圆的圆心距d =| O O|，则：1两圆外离 d r1两圆外切 d = r112212+ r ；2+ r ；2两圆相交 | r - r12| d r1+ r ；2两圆内切 d =| r - r |；12两圆内含 d | r - r |1221. 圆中几个关键元素之间的相互转化弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来相互转化.这在圆中的证明和计算中常常用到. 22.与圆有关的公式设圆的周长为r，则：（1） 求圆的直径公式d=2r（2） 求圆的周长公式 C=2r（3） 求圆的面积公式S=r2二、解题要领1. 判定切线的方法：（1） 假设切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相像、勾股定理证垂直；（2） 假设切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线所垂直的是圆的半径过圆上一点；直线与半径的关系是相互垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要擅长进展由此 及彼的联想、要总结常添加的关心线.2. 与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相像等学问的结合，形式简单，无规律性。分析时要重点留意观看线段间的关系，选择定理进展线段或者角度的转化。特别是 要借助圆的相关定理进展弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与线段的关系，从而化未知为已 知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1） 构造思想：构建矩形转化线段；构建“射影定理”根本图争论线段任意两条线段可求其它全部线段长；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.（2） 方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是觉察其中的相等关系建立方程， 解决问题。专题典型题考法及解析（3） 建模思想：借助根本图形的结论觉察问题中的线段关系，把问题分解为假设干根本图形的问题，通过根本图形的解题模型快速觉察图形中的根本结论，进而找出隐蔽的线段之间的数量关系。【例题 1】2019山东省滨州市如图，AB 为O 的直径，C，D 为O 上两点，假设BCD40，则ABD 的大小为A60B50C40D20【例题 2】2019南京如图，PA.PB 是O 的切线，A.B 为切点，点C.D 在O 上假设P102，则A+C【例题 3】2019甘肃武威如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，点D 在 BC 边上，D 经过点 A 和点 B 且与BC 边相交于点E2假设CE2，求D 的半径1求证：AC 是D 的切线；【例题 4】2019江苏苏州如图，AE 为e O 的直径，D 是弧BC 的中点BC 与 AD，OD 分别交于点E，F.（1） 求证： DOAC ；（2） 求证： DE DA = DC 2;1（3） 假设tan CAD = 2 ，求sin CDA 的值.CDEFABO1(2019 甘肃陇南)如图，点 A，B，S 在圆上，假设弦 AB 的长度等于圆半径的倍，则ASB 的度数是专题典型训练题一、选择题A22.5B30C45D602.2019山东省聊城市如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是上两点，连接BD，CE 并延长交于点 A，连接 OD，OE假设A70，那么DOE 的度数为3.2019广西贵港如图，AD 是O 的直径， ，假设AOB40，则圆周角BPC 的度数是A35B38C40D42A40B50C60D704.2019湖北天门如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦 ADOC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E， 连接 BD以下结论：CD 是O 的切线；CODB；EDAEBD；EDBCBOBE其中正确结论的个数有 A4 个B3 个C2 个D1 个5.2019山东省德州市 如图，点 O 为线段BC 的中点，点 A，C，D 到点 O 的距离相等，假设ABC40， 则ADC 的度数是 A130B140C150D1606.2019 湖南益阳如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆O于点 D，以下结论不肯定成立的是 APAPBBBPDAPD CABPD DAB 平分PD7.2019广东广州平面内，O 的半径为 1，点 P 到 O 的距离为 2，过点 P 可作O 的切线条数为A0 条B1 条C2 条D很多条82019山东泰安如图，ABC 是O 的内接三角形，A119，过点C 的圆的切线交BO 于点 P，则P 的度数为A32B31C29D619(2019湖南益阳)如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆O于点 D，以下结论不肯定成立的是()APAPBBBPDAPDCABPDDAB 平分PD10. (2019 湖北荆门)如图，ABC 内心为I，连接AI 并延长交ABC 的外接圆于D，则线段DI 与DB 的关系是ADIDB二、填空题BDIDBCDIDBD不确定11.2019 广西北部湾九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉.在九章算术中记载有一问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学依据原文题意，画出圆材截面图如下图，： 锯口深为 1 寸，锯道AB=1 尺1 尺=10 寸，则该圆材的直径为 寸.12. (2019 黑龙江绥化)半径为 5 的O 是锐角三角形ABC 的外接圆,ABAC,连接 OB,OC,延长 CO 交弦 AB 于点 D.假设OBD 是直角三角形,则弦BC 的长为.13. 2019 山东东营如图，AC 是O 的弦，AC=5，点 B 是O 上的一个动点，且ABC=45，假设点 M、N分别是AC、BC 的中点，则MN 的最大值是14.2019 黑龙江省龙东地区如图，在O 中，半径OA 垂直于弦BC，点D 在圆上，且ADC30，则AOB 的度数为DOBCA15.2019 江苏常州如图，AB 是O 的直径，C、D 是O 上的两点，AOC120，则CDB