储油罐的变位识别与罐容表的标定摘要本文研究储油罐的变位识别与罐容表的标定。分别以小椭圆型油罐和实际卧式储油罐为研究对象，运用高等数学的积分的知识，分别建立罐体变位前后罐内油体积与油高读数之间的积分模型，使用Matlab软件得出结论。对于问题一，以小椭圆型储油罐为研究对象，在无变位时，小椭圆型储油罐为规则的椭球柱体，可利用解析几何与高等数学的知识建立油罐内体积与油高读数之间的积分模型，得出罐体无变位时的理论值。当罐体发生纵向变位时，小椭圆型储油罐的截面不再是规则的几何形体，但根据倾角及所给小椭圆型罐体的尺寸，可得其截面面积的表达式，利用高等数学中积分的方法，根据不同油高，建立了模型一，得到了储油量和油高的关系公式。最后，根据实验数据的处理，用拟合的方法，修正了某些系统误差的影响，计算出罐体变位后油位高度间隔1cm的罐容表的标定值。对于问题二，由于实际储油罐内没油的高度不同，我们将其分为五种情况分别讨论，并对每种情况建立积分公式，得出罐内油体积与油位高度及变位参数（纵向倾斜角和横向偏转角）之间的函数关系式，利用所给的实验数据，运用最小二乘法，建立非线性规划模型用Matlab非线性规划求解得出使得总体误差最小的与值：=2.12，=4.06。通过与的数值计算出出油量理论值与实测值的平均相对误差小于0.5% 。对模型进行了较为充分的正确性验证和稳定性验证：在与的值为0时，其计算出来的罐容值与理论值完全吻合，说明模型在体积计算上是正确的；当对油高进行0.1%的扰动时，的值变化也在0.1%左右，说明的稳定性很好，但是的值从4.06变成了3.75，变化了大约8%，所以我们详细分析了的数学表达式，从理论上分析了影响其稳定性的因素。根据得到的变位参数计算出实际罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表的标定值。最后，本文对模型的优缺点进行了评价，并讨论模型的推广。关键字：储油罐；变位识别；罐容表标定；非线性规划一 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。 根据上述所述，求解下列问题：（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.1的纵向变位两种情况做了实验。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据，根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二 问题分析 本文研究罐容表的读数与储油罐的变位的关系。借助高等数学积分的方法，求出储油量与油高读数的函数关系式，并对倾斜的储油罐进行容量标定。1.对问题一的分析问题一中用小椭圆储油罐分别对罐体无变位和纵向倾斜进行实验，研究变位对罐容表的影响，因此我们分别建立变位前和变位后的罐容表读数与罐内油体积的函数关系式，通过函数关系式计算出理论值，再与所给的实际值相比较，得出其相对误差，然后通过分析系统误差进行修正，出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表的标定值。2.对问题二的分析问题二中是以实际储油罐为研究对象，不仅考虑了储油罐的纵向倾斜，而且还考虑了横向偏转，为了使问题简化，我们先只考虑纵向倾斜，由于储油罐的形体不规则，所以我们将它分成如图1所示的三部分，分别算出每部分的体积与罐容表读数的函数关系式，然后对其求和。再考虑横向偏转，建立它与所给的油高的函数关系式。然后将二者进行综合考虑得出变位后罐容表读数与储油罐内油体积的函数关系式，通过关系式和所给数据，运用最小二乘法，通过MATLAB程序，搜索出和的最小误差解，再对模型的稳定性和正确性进行评定，最后给出高度间隔10cm的罐容表的标定值。图1 油罐分区域积分示意图三 模型假设假设一：数据是储油罐的内壁参数。假设二：忽略温度、压力对汽油的密度的影响。假设三：储油罐在偏移的过程中，油位探针始终与油罐底面垂直。假设四：对卧式储油罐来说，不考虑其长期埋在地下所发生的蠕变。假设五：累加进出油量数据是准确可靠的。四 符号说明: 对应于罐容表读数的液面实际高度。: 球冠中与油罐圆柱左侧底面距离为x处的油高。: 球冠中与油罐左侧底面相距为x处的小圆半径。：球冠中与油罐圆柱右侧底面距离为x处的油高。：球冠中与油罐右侧底面相距为x处的小圆半径。: 储油罐圆柱部分的底面半径。: 球冠所在球体的大圆半径。:第i条数据所对应的罐容表读数。：用于分析的油量进出数据。 a: 椭圆长半轴长。 b: 椭圆短半轴长。 n: 用于分析的进出油测量数据个数。：罐容表读数。 五 模型的建立与求解5.1 模型一的建立与求解 问题一要求研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。5.1.1 计算未变位和变位的理论罐内油位高度与储油量的关系 利用高等数学中微元法求体积的方法建立罐容表读数与罐内油体积的函数关系式的模型。 （1） 在无变位的情况下，储油罐内的油所占空间为柱体，其体积为(1)其中S为柱体底面面积，L为柱体的长度。(2)底面椭圆方程为(3)(4)将（4）代入（2），得到(5)其积分解析表达式为(6)其中，(7)如图图2微元法求椭圆切面面积(8)(9)图3 油罐无倾斜时示意图（2）当油罐发生纵向偏转时，油罐中油所占空间为一倾斜柱体，如图4所示： 图4 油罐偏移示意图 如图4所示，根据几何关系可知，(10)又根据油面的高度不同，可分为以下三种情况：图5 情况1：低油位若油面位于图5所示位置，则：(11)图6 情况2：正常油位若油面位于图6所示位置，则：(12)图7 情况3高油位若油面位于图7位置，则：(13)由上述公式知，油罐的变位会对罐内油高与储油量的对应关系（罐容表），产生较大的影响。综合式（11）-（13），可以得到模型1如下：(14)5.1.2 应用试验数据对理论关系式进行修正当无变位进油时，我们可以根据式（9）对每一个油位高度求出其理论储油量；另根据累加进油量和罐内油量初值，可求得实际储油量。由于理论储油量和实测数据之间存在一定的系统误差，所以我们用线性回归方式得到修正系数 m = 1.035。因此，无变位实际体积的修正计算公式为：(15)对不同高度用式（14）计算对应的体积和实测值进行对比验证，平均误差为0.01%，达到较好的计算精度（图8）。参考数据见附表1图8当罐体有=4.1倾斜角的纵向变位时，利用模型1我们对每一实验数据给出的油高计算其理论储油量。系统误差校正：所谓系统误差，是由于原始读数不准确造成的，其原因可能是仪表不准确、罐体变形或者进油出油管道和仪表占据一定的容积。虽然我们不知道具体的原因，但是我们通过统计分析可以一定程度上消除系统误差。方法如下：根据实验数据中累加进油量和罐内油量初始值求出实际储油量，与模型计算值进行比较，用二阶多项式拟合储油量差值和油高。(16)这两列数据的相关系数达到0.977，有理由采用此多项式对模型的计算值进行系统误差修正。图9 系统误差和油高的拟合对于试验中变位时，数据中的油高均处在5.1中正常油位情况，模型一中其他两种情况没有涉及。所以，模型简化为：实际储油量（）=模型储油量（）-系统误差（），即(17)用实验数据验证，拟合效果良好，平均误差为0.059%。图10根据模型一，对系统误差进行修正后，我们可以计算求得模型所需的罐容表，详见下表。小椭圆型储油罐罐容表标定值油位高度（mm）储油量（L）油位高度（mm）储油量（L）油位高度（mm）储油量（L）油位高度（mm）储油量（L）0.00 1.67 300.00 580.47 600.00 1716.72 900.00 2995.61 10.00 3.53 310.00 611.97 610.00 1759.00 910.00 3036.59 20.00 6.26 320.00 644.09 620.00 1801.42 920.00 3077.31 30.00 9.97 330.00 676.80 630.00 1843.97 930.00 3117.75 40.00 14.76 340.00 710.08 640.00 1886.63 940.00 3157.90 50.00 20.69 350.00 743.91 650.00 1929.40 950.00 3197.73 60.00 27.85 360.00 778.26 660.00 1972.26 960.00 3237.24 70.00 36.32 370.00 813.12 670.00 2015.20 970.00 3276.39 80.00 46.14 380.00 848.46 680.00 2058.20 980.00 3315.18 90.00 57.39 390.00 884.28 690.00 2101.26 990.00 3353.58 100.00 70.13 400.00 920.54 700.00 2144.36 1000.00 3391.56 110.00 84.40 410.00 957.24 710.00 2187.49 1010.00 3429.11 120.00 100.25 420.00 994.36 720.00 2230.64 1020.00 3466.20 130.00 117.75 430.00 1031.87 730.00 2273.79 1030.00 3502.81 140.00 136.92 440.00 1069.77 740.00 2316.94 1040.00 3538.91 150.00 203.55 450.00 1108.05 750.00 2360.06 1050.00 3574.48 160.00