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课时跟踪检测(五十一) 抛物线A级基础题基稳才能楼高1(2019石家庄模拟)抛物线y2x2的准线方程是()Ax BxCy Dy解析:选D抛物线y2x2的标准方程为x2y,其准线方程为y.2已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x解析:选D由题意知双曲线的焦点为(,0),(,0)设抛物线C的方程为y22px(p0),则,所以p2,所以抛物线C的方程为y24x.故选D.3(2019齐齐哈尔一模)若抛物线x24y上的点P(m,n)到其焦点的距离为5,则n()A BC3D4解析: 选D抛物线x24y的准线方程为y1,根据抛物线的定义可知,5n1,得n4,故选D.4(2019衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质:由焦点发出的光线,经抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后,必经过抛物线的焦点已知抛物线y24x的焦点为F,一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为()A. BC D解析:选B将y1代入y24x可得x,即A.由题可知,直线AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率k,故选B.5(2019珠海模拟)已知抛物线y24x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PAl,垂足为A,|PF|4,则直线AF的倾斜角等于()A. B.C. D.解析:选B由抛物线y24x知焦点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x1,由抛物线定义可知|PA|PF|4,所以点P的坐标为(3,2),因此点A的坐标为(1,2),所以kAF,所以直线AF的倾斜角等于,故选B.6(2019江苏高邮模拟)抛物线y2x的焦点坐标是_解析:由于抛物线y22px的焦点坐标为,因此抛物线y2x的焦点坐标为.答案:B级保分题准做快做达标1(2019武汉调研)过抛物线C:y22px(p0)的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,若|NF|4,则M到直线NF的距离为()A. B2C3 D2解析:选B直线MF的斜率为,MNl,NMF60,又|MF|MN|,且|NF|4,NMF是边长为4的等边三角形,M到直线NF的距离为2.故选B.2(2019长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A,B两点,那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为()A相离 B相切C相交但不经过圆心 D相交且经过圆心解析:选B设圆心为M,过点A,B,M分别作准线 l的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|(|AA1|BB1|)由抛物线定义可知|BF|BB1|,|AF|AA1|,|AB|BB1|AA1|,|MM1|AB|,即圆心M到准线l的距离等于圆的半径,故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切3(2019河南中原名校质检)已知抛物线y24x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|MN|,则点F到MN的距离为()A. B1C. D2解析:选B由题可知|MF|2,设点N到准线的距离为d,由抛物线的定义可得d|NF|,因为|NF|MN|,所以cosNMF,所以sinNMF,所以点F到MN的距离为|MF|sinNMF21,故选B.4(2019辽宁五校协作体模考)抛物线x24y的焦点为F,过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A,过点A作抛物线准线的垂线,垂足为H,则AHF的面积是()A4 B3C4 D8解析:选C由抛物线的定义可得|AF|AH|,直线AF的斜率为,直线AF的倾斜角为30,AH垂直于准线,FAH 60,故AHF为等边三角形设A,m0,由|AF|AH|,得1,解得m2,故等边AHF的边长|AH|4,AHF的面积是44sin 604.故选C.5(2019邯郸质检)已知抛物线y22px(p0)过点A,其准线与x轴交于点B,直线AB与抛物线的另一个交点为M,若,则实数为()A BC2D3解析:选C把点A代入抛物线的方程得22p,解得p2,所以抛物线的方程为y24x,则B(1,0),设M,则,由,得解得2或1(舍去),故选C.6(2019辽宁葫芦岛期中)已知直线l:xya0与抛物线x24y交于P,Q两点,过P,Q分别作l的垂线与y轴交于M,N两点,若|MN|,则a()A1 B1C2 D2解析:选D直线l的方程为xya0,直线l的倾斜角为60,直线l与抛物线x24y交于P,Q两点,过P,Q分别作l的垂线与y轴交于M,N两点,且|MN|,|PQ|sin 608.设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程,得得x24x4a0,由0得a3,x1x24,x1x24a,|PQ|8,即4816a16,a2,故选D.7(2019华大新高考质检)已知抛物线C:y24x,点D(2,0),E(4,0),M是抛物线C上异于原点O的动点,连接ME并延长交抛物线C于点N,连接MD,ND并分别延长交抛物线C 于点P,Q,连接PQ,若直线MN,PQ的斜率存在且分别为k1,k2,则()A4 B3C2 D1解析:选C设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),则直线MD的方程为xy2,代入抛物线C:y24x,整理得y2y80,所以y1y38,即y3,从而x3,故P,同理可得Q,因为M,E,N三点共线,所以,得y1y216,所以k2,k1,所以2.故选C.8(2019辽宁五校联考)抛物线C:y24x的焦点为F,N为准线l上一点,M为y轴上一点,MNF为直角,若线段MF的中点E在抛物线C上,则MNF的面积为()A BC D3解析:选C如图所示,不妨设点N在第二象限,连接EN,易知F(1,0),因为MNF为直角,点E为线段MF的中点,所以|EM|EF|EN|,又E在抛物线C上,所以ENl,E,所以N(1,),M(0,2),所以|NF|,|NM|,所以MNF的面积为,故选C.9(2019河南百校联考)已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MO|MF|(O为坐标原点),则()A BCD解析:选A不妨设M(m,)(m0),易知抛物线C的焦点F的坐标为,因为|MO|MF|,所以解得m,p2,所以,所以2.故选A.10(2019石家庄毕业班摸底)若抛物线y24x上有一条长度为10的动弦AB,则AB的中点到y轴的最短距离为_解析:设抛物线的焦点为F,准线为l:x1,弦AB的中点为M,则点M到准线l的距离d,所以点M到准线l的距离的最小值为5,所以点M到y轴的最短距离为514.答案:411(2018北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线y24ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为_解析:由题知直线l的方程为x1,则直线与抛物线的交点为(1,2)(a0)又直线被抛物线截得的线段长为4,所以44,即a1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)答案:(1,0)12(2019广州海珠区一模)已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线y21的右焦点重合,若A为抛物线在第一象限上的一点,且|AF|3,则直线AF的斜率为_解析:双曲线y21的右焦点为(2,0),抛物线方程为y28x,|AF|3,xA23,得xA1,代入抛物线方程可得yA2.点A在第一象限,A(1,2),直线AF的斜率为2.答案:213(2019唐山五校摸底)过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|2|BF|6,则p_.解析:法一:设直线AB的倾斜角为,分别过A,B作准线l的垂线AA,BB,垂足分别为A,B,则|AA|6,|BB|3,过点B作AA的垂线BC,垂足为C,则|AC|3,|BC|6,BAC,所以sin ,所以|AB|9,解得p4.法二:设直线AB的倾斜角为,不妨设A在x轴上方,B在x轴下方,则|AF|,|BF|,则有2,解得cos ,又|AF|6,所以p4.法三:由结论,得,解得p4.答案:414(2019武汉调研)已知抛物线C:x22py(p0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程解:由题意知,直线AB的斜率一定存在,设直线AB:ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x22pkx2p0,则x1x22pk,x1x22p.(1)由x22py得y,则A,B处的切线斜率的乘积为,点N在以AB为直径的圆上,ANBN,1,p2.(2)易得直线AN:yy1(xx1),直线BN:yy2(xx2),联立,得结合式,解得即N(pk,1)|AB|x2x1|,点N到直线AB的距离d,则SABN|AB|d2,当k0时,取等号,ABN的面积的最小值为4,24,p2,故抛物线C的方程为x24y.15(2019贵阳摸底)过抛物线C:y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A,B两点,且|AB|8.(1)求直线l的方程;(2)若A关于x轴的对称点为D,抛物线的准线与x轴的交点为E,求证:B,D,E三点共线解:(1)F的坐标为(1,0),则l的方程为yk(x1),代入抛物线方程y24x得k2x2(2k24)xk20,由题意知k0,且(2k24)24k2k216(k21)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,x1x21,由抛物线的定义知|AB|x1x228,6,k21,即k1,直线l的方程为y(x1)(2)证明:由抛物线的对称性知,D点的坐标为(x1,y1),又E(1,0),kEBkED,y2(x11)y1(x21)y2y1(y1y2)(y1y2)(y1y
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