电动力学试题库十及其答案 - 简答题每题5分，共15分。 1请写出达朗伯方程及其推延势的解 2当你承受无线电讯号时，感到讯号大小与间隔 和方向有关，这是为什么？ 3请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关系式。 证明题共15分。 当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足：tan?2tan?1-2?1，其中?1和?2分别为两种介质的介电常数，?1和?2分别为界面两侧电力线与法线的夹角。15分 四. 综合题共55分。 1平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，介电常数为?1和?2，今在两板上接上电动势为U的电池，假设介质是漏电的，电导率分别为?1和?2，当电流到达稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度?f和介质分界面上的自由电荷面密度?f。15分 2介电常数为?的均匀介质中有均匀场强为E0，求介质中球形空腔内的电场别离变量法。15分 ?3一对无限大平行的理想导体板，相距为d，电磁波沿平行于板面的z轴方向传播，设波在x方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率15分 4一把直尺相对于?坐标系静止，直尺与x轴夹角为?，今有一观察者以速度v沿x轴运动，他看到直尺与x轴的夹角?有何变化？10分 二、简答题 ?22-1-?1?A22-?1、达朗伯方程：?A?2 -?j0222c?t?0c?t-?r?j?x?,t-c-dV? , -x,t-0r4?推延势的解：A?x,t-?04-?x?,t-r-c?rdV? ?2、由于电磁辐射的平均能流密度为S-2-P32-0cR232?22sin?n，正比于sin?，反比于2R，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。 3、能量：W?m0c1?u222c2；动量：P-Wc22m01?u2-?iW-u,ic-?P,?；能量、动量2c-c和静止质量的关系为：P? 三、证明：如下图 ?E1-m0c 22?1-1?2E2 在分界面处，由边值关系可得： 切线方向 E1t?E2t 1 法线方向 D1n?D2n 2 -又 D-E 3 由1得： E1sin?1?E2sin?2 4 由23得： ?1E1cos?1-2E2cos?2 5 由45两式可得： tan?2? ?2 证毕。 tan?1?1四、综合题 1、 解：如下图， ?由电流稳定时，-j?0，那么介质分界?1?D1l1面上有 j1n?j2n，即： ?1E1n-2E2n , E2n-?由于E与n方向一致， -?1- ?E2?E1 , E1?E1n ?1?2?2E1n ?D2l2?2又由 U-E?dl-E1?dl?l1-?E2?dl?E1l1?E2l2 l2 ?E1l1-1?2?E1l2 ?E1?l1?U?2U?2l1-1l2?1?2 l2由于均匀介质 - ?D1-1E1-1?2U?2l1-1l2?n -?1?E1? D2-2E2-2?2?1U?2l1-1l2?2?n 电容器上板面自由面电荷密度为： ?f1?D1n?0-1?2U?2l1-1l2 下板面的为： ?f1?0?D2n-?2?1U?2l1-1l2 介质分界面上自由面电荷密度为： ?f3?D2n?D1n-2?1U?2l1-1l2-1?2U?2l1-1l2?U-2?1-1?2-2l1-1l2 ?2、解：如下图，取E0方向为z轴方向。 由题意知，球内外均满足 ?2-0 (1) 又轴对称，那么 ?1? ?2?R0 ?E0 1 2 ?z ?anrPn(cos?)?nnbnrn?1Pn(cos?) (r?R0) (2) ?cnrPn(cos?)?nndnrn?1Pn(cos?) (r?R0) (3) 当r?0 ?1有限，那么 bn?0 ?1-annrPn(cos?) (4) n当r- ?2-E0rcos? ?2-E0rcos-?ndnrn?1Pn(cos?) (5) 在介质球面r?R0上有边值关系 ?1-2 -?2?rr?R0 (6) (7) -0-1?rr?R0将(4)、(5)代入(6)、(7)中解得 ?1-3?E0rcos? (8) y?0?2? ?2-E0rcos-?0-E0R0cos-0?2?r23x b xo x 球腔内的电场强度为： ? E1-1?3-E0 ?0?2?3、解： 由亥姆霍茨方程： -2 ?E?kE?0 (1) 2根据题意kx?0，场与x无关。可设场为 E(y,z,t)?E(y)ei(k?2dE(y)dy2-zz-t) (2) 将(2)代入(1)中，得振幅满足的亥姆霍茨方程为 -kE(y)?0 3 2y分量通解为 E(y)?Acoskyy?Bsinkyy 利用y?0，b 边界条件 Ex?Ez?0，得：Ex?A1sinkyyei(kzz-t)?Ey?y?0 (4) Ey?A2coskyye Ez?A3sinkyye其中ky?m?bi(kzz-t)i(kzz-t) (5) m?0,1,2? (6) 而 kz?k2?ky?2(?c)?(2m?b) (7) 2由此得截止频率为 m?b ?c?c (8) -由于此波型(5)满足-E?0。因此A1、A2、A3不独立，将(5)中三式代入-E?0中得 ?A2ky?iA3kz?0，即 A2?ikzkyA3 (9) ?4、解：如下图，设观察者的坐标系为-，根据运动尺度缩短，x方向上，在-坐标系中，直尺的长度为： 2 l-lv2xx1?c2?lcos?1?vc2 而?y方向上，在-坐标系中，直尺的长度为： l?y?ly?lsin? 那么 tan-?l?yl?x ?lsin?2?tan?lcos?1?vc21?v2c2 ?y? ?y-?lv?xx?第 页 共 页