07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜 角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是0a y 180（0 0）则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程y = kx + b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定 的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化时，它们表示过定点 （0，b ）的直线束当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3. 两条直线平行：l l ok=k两条直线平行的条件是：l和l是两条不重合的直线.在l和l的斜率1 2 1 2 1 2 1 2 都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的 错误.（般的结论是：对于两条直线l ,l，它们在y轴上的纵截距是b ,b，则l l ok =k ，1 2 1 2 1 2 1 2 且b壬b或l ,l的斜率均不存在，即AB = B A是平行的必要不充分条件，且C丰C ）1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 推论：如果两条直线l 12的倾斜角为a a2则11 12oai=a2.1 2 1 2 1 2 1 2 两条直线垂直：两条直线垂直的条件：设两条直线l和l的斜率分别为k和k，则有l丄l ok k =-1这1 2 1 2 1 2 1 2里的前提是l ,l的斜率都存在.l丄l ok = 0，且l的斜率不存在或k = 0，且l的斜率不1 2 1 2 1 2 2 1存在.（即A B + A B = 0是垂直的充要条件）1 2 2 14. 直线的交角：直线l到l的角（方向角）；直线l到l的角，是指直线l绕交点依逆时针方向旋转到1 2 1 2 1k -k与l重合时所转动的角0 ,它的范围是（0,兀），当0工90时tan9 = .21 +邛2两条相交直线l与12的夹角：两条相交直线l与12的夹角，是指由l与12相交所成的四1 2 1 2 1 2（ -个角中最小的正角9，又称为11和12所成的角，它的取值范围是I当码90 ，则有tan 9 =1 + k k5. 过两直线11：A1 x + B1 y +C1 = 0 的交点的直线系方程 A x + B y +C +X(A x + B y +C ) = 0(九 l2:A2x+B2y+C2= 0111222为参数，A x + B y +C = 0不包括在内)2226. 点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点P( x 0, y o)，直线l: Ax + By + C = 0, P到l的距离为d，则有注：1.两点 P(X，y)、P2(x2,y2)的距离公式：| PP2= &x2 _X)2 + (y2 - y/2 .特例：点P(x,y)到原点O的距离：I OP 1= Jx2 + y22. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段PP所成的比题即云=诂，其中1 2 1 2p1(x1,y1),p2(x2，y2).则 x = :2, y = yi拧2特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3. 直线的倾斜角(0W J 180)、斜率:k = tan a4.过两点P (x1, y1), P (x2, y2)的直线的斜率公式：k =丁 2 -片x - x21(x 丰 x )12当x1 = x2, y1丰y2 (即直线和x轴垂直)时，直线的倾斜角a = 90。，没有斜率两条平行线间的距离公式：设两条平行直线11： Ax + By +C1 = 0,l2： Ax + By +C2 = 0(C 1主C2), C _c它们之间的距离为d，则有d二上丄丄A 2 + B 2注； 直线系方程1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( mR, C#m).2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR)3. 过定点(x1,y1)的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0)4. 过直线 I】、I?父点的直线系方程：(Ax+By+C1)+ A ( Azx+Bqy+C?) =0 ( A R)注:该直线系不含 l2.7. 关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称 直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的父点，且对称直线为两直线夹角的角平分线. 点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上(方程)，过两对 称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程)可解得所求对称点注：曲线、直线关于一直线(y = x + b )对称的解法：y换x, x换y.例：曲线f(x ,y)=0 关于直线y=x-2对称曲线方程是f(y+2 ,x -2)=0.曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a -x, 2b - y)=0.二、圆的方程.1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程f (x, y) = 0的实数 建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形) .曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x, y)其坐标与方程f (x, y) = 0的一种关系， 曲线上任一点(x, y)是方程f (x, y) = 0的解；反过来，满足方程f (x, y) = 0的解所对应的点是 曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x ,y0)=02. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x-a)2 +(y -b)2 =r2 .特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2+y2=r2 .注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程(x - a)2 +(y b)2 =b 2r = |b |,圆心(a,b )或(a,-b)r = |a I,圆心(a, b)或(a, b)r = la I,圆心(a, a)与y轴相切的圆方程(xa)2+(y b)2 =a2与;轴y轴都相切的圆方程(x a)2 +(y a)2 = a23. 圆的一般方程： x2+y2+Dx+Ey+F =0 .当 D 2+E 2 4 F A 0 时,方程表示个圆，其中圆心*许0,半径r=2+E 2 4 F2DE 当d2+E2 4F = 0时，方程表示一个点-一，-一.I 2 2丿 当一2+E2 4F Y 0时，方程无图形(称虚圆). 注：圆的参数方程：F = a + rC0弓(9为参数).y = b + r sin 9方程Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0表示圆的充要条件是：B = 0且A = C丰0且D2+E24AF A 0. 圆的直径或方程：已知A(xi,y 1)B(x2,y2) n (x xi)(x x2) + (y 儿)(y y2) = 0 (用向量可征). JL JLJLJL4.点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C :(x a)2 +(y b)2 =r2. M 在圆 C 内 o (x0 a)2 + (y0 b)2 Yr2 M 在圆 C 上 o(x0 a)2 +(y0 b)2 = r2 M 在圆 C 外 o (x0 a)2 + (y0 b)2r25. 直线和圆的位置关系：设圆圆 C : (x a)2+(y b)2 =r2(r0);直线l : Ax + By + C = 0(A2 +B2工 0)；圆心C(a, b)到直线l的距离d =加.A 2 + B 2 d = r时，l与C相切；附：若两圆相切，则F 2+y 2+DiX +已iy +尸1= 0 =相减为公切线方程.x 2+y 2+D x + E y + F = 0222 d Y r时，l与C相交；附：公共弦方程：设x2+y2+Dix + Eiy + F厂0C :x 2+y 2+D x + E y + F = 0 有两个交点，则其公共弦方程为(D：-D 2) x + (E1E 2) y + (F -F 2) = 0. d i时，l与C相离.附：若两圆相离，则Jx2+y2+Dix+Eiy +Fi= 0 n相减为圆心OO的连线的中与线方程.x 2+y 2 + D x + E y + F = 01 2222由代数特征判断：方程组(x a)2 +(y b)2 =r2用代入法，得关于x (或y )的一元二次方Ax + Bx + C = 0程，其判别式为a，贝y：A = 0 o l与C相切；A a 0 o l与C相交；A y 0 o l与C相离.注：若两圆为同心圆则x2+y2 + Dix + Eiy + F厂0，x2+y2+D2x + E2y + F2 = 0相减，不表示直线.6.圆的切线方程：圆x2+y 2=r2的斜率为k的切线方程是y = kx tl +k 2r过圆+E+F=0.x2+y2+Dx+Ey+F =0上一点P(x0,y0)的切线方程为:一点P(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y =r2 .C一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x - a)(x0 - a)+(y - b)(y0 - b)=R2.特别地，过圆x2+y2=r2上若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则y 1y 0 = k (xi x 0)|b-儿-k(a xi)，联立求出k n切线方程.B R =1VR 2+17. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图： ABCD 四类共 圆.已知0O的方程x2+y2 + Dx + Ey + F = 0又以 ABCD 为圆为方程为(x-xA)(x-a) + (y -yA)(x-b) =k2 r 2=g 所以BC的方程即代相切即为所求.三、曲线和方程1. 曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程f(x,y)=o的实数解建立了如下的关系：1) 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解(纯粹性)；2) 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上(完备性)。贝9称方程f(