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经济数学基础作业4(一)填空题1.函数的定义域为 求初等函数的定义域,一般要满足:(1) 分式中分母的表达式不为零;(2) 根式中偶次根号下的表达式大于或等于零;(3) 对数中真数的表达式大于零。解:要使有意义,则要求,解不等式组得:,因此,定义域为。2. 函数的驻点是,极值点是 ,它是极 值点.1 使的点称为函数的驻点。2 设,且(1) 若 ,则为极小值点;(2) 若 ,则为极大值点。解:=令得: 因此,所求驻点是,极值点是,它是极小值点。3.设某商品的需求函数为,则需求弹性 . 解:有弹性公式=。4.若线性方程组有非零解,则= 齐次方程组有非零解的充分必要条件为:,(为方程组中未知量的个数)。解:系数矩阵 当方程有非零解,则(未知量个数),则。5. 设线性方程组,且,则时,方程组有唯一解.解:要使线性方程组有唯一解,则要求(方程未知量个数), 因此,当时,方程组有唯一解。(二)单项选择题1. 下列函数在指定区间上单调增加的是( ) Asinx Be x Cx 2 D3 x解:函数sinx , e x , x 2均为基本初等函数,由它们的性质知:函数e x在区间上是单调增加。该题正确答案为:B2. 设,则( )A B C D解:因为,则,该题正确答案为:C3. 下列积分计算正确的是( ) A BC D解:注意到:定积分,(1)当为奇函数时,则;(2)当为偶函数时,则。答案A中设,=, 因此,该题正确答案为:A4. 设线性方程组有无穷多解的充分必要条件是( )A B C D 解:该题正确答案为:D5. 设线性方程组,则方程组有解的充分必要条件是( ) A B C D解:方程组有解的充分必要条件是:,即,即,该题正确答案为:C三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程:(1) 解:原方程变形为: 方程两边积分得: 即为方程通解 . (2)解:原方程变形为: 方程两边积分得: 即为方程通解 . 2. 求解下列一阶线性微分方程:(1)解:由一阶线性微分方程通解公式:得原方程通解: =(2)解:由一阶线性微分方程通解公式:得原方程通解: = = =3.求解下列微分方程的初值问题:(1) ,解:原方程变形为: 方程两边积分得: 即为方程通解 将代人通解得:则因此,原方程特解为:(2),解:原方程变形为:由一阶线性微分方程通解公式:得方程通解: = =将代人通解得:,则原方程特解为:4.求解下列线性方程组的一般解:(1)解: 所以,方程的一般解为(其中是自由未知量)(2)解:一般解:(其中是自由未知量)5.当为何值时,线性方程组有解,并求一般解。解:当时,方程有无穷多解 .方程的一般解为: (其中是自由未知量)5为何值时,方程组解:当且时,方程组无解;当时,方程组有唯一解;当且时,方程组无穷多解。6求解下列经济应用问题:(1)设生产某种产品个单位时的成本函数为:(万元),求:当时的总成本、平均成本和边际成本;当产量为多少时,平均成本最小?解:(万元); (万元/单位);求经济最值问题的解题步骤:(1)列出目标函数(就是所求实际问题达到最值的经济函数,比如利润函数或平均成本函数等);(2)对目标函数求导,令目标函数的导数等于0,求出驻点;(3)若驻点唯一,再判定该驻点为极值点;(4)在驻点唯一的情况下,极大(小)值点即为最大(小)值点,得出结论,回答问题。 =(万元/单位) .平均成本:, 令得唯一驻点因此,当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。(2).某厂生产某种产品件时的总成本函数为(元),单位销售价格为(元/件),问产量为多少时可使利润达到最大?最大利润是多少 解:收入函数利润函数= 令得唯一驻点因此,当产量为250个单位时可使利润达到最大,且最大利润为:(元)。(3)投产某产品的固定成本为36(万元),且边际成本为(万元/百台)试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低解:当产量由4百台增至6百台时,总成本的增量为 (万元) 总成本函数 平均成本: 令得唯一驻点 因此,当产量为6百台时,平均成本达到最低. (4)已知某产品的边际成本=2(元/件),固定成本为0,边际收益,求: 产量为多少时利润最大?在最大利润产量的基础上再生产50件,利润将会发生什么变化?解:边际利润令得唯一驻点, 因此,当产量为500件时,利润最大. 在最大利润产量的基础上再生产50件,利润增量 即利润将减少25元.
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