【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月21日）一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内1(2013全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析双曲线焦点位于x轴，所以双曲线的渐近线方程为yx，而e，即，得，故渐近线方程为yx，即选C.答案C2若不论k取何值，直线yk(x2)m与双曲线x2y21总有公共点，则实数m的取值范围是()A3,3 B，C2,2 D，解析直线过点M(2，m)，不妨设直线x2与双曲线相交于A，B两点，且A(2，)，B(2，)结合图象可知，当且仅当点M在线段AB上时，不论k取何值，直线与双曲线总有公共点，所以m.故选B.答案B3(2013全国大纲卷)椭圆C：1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A. B.C. D.解析A1(2,0)，A2(2,0)，上顶点B1(0，)，若P位于B1处，kPA21，由图象分析P位于第一象限，设P(x0，y0)，则y0，因此kPA2，由kPA22，1得，从而kPA1，故选B.答案B4已知抛物线y24x，圆F：(x1)2y21，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则|AB|CD|的值正确的是()A等于1 B最小值是1C等于4 D最大值是4解析设直线l：xty1，代入抛物线方程，得y24ty40.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线定义|AF|x11，|DF|x21，故|AB|x1，|CD|x2，所以|AB|CD|x1x2.而y1y24，代入上式，得|AB|CD|1，故选A.答案A5在周长为16的PMN中，|MN|6，则的取值范围是()A7，) B(0,16)C(7,16 D7,16)解析以MN所在直线为x轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系，由于|PN|PM|10|MN|6，故点P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆(去左、右顶点)，其方程为1(y0)，故(3x，y)(3x，y)x2y29，将y216代入整理得：7，而01(由于是三角形，因此M，N，P三点不共线)，故70)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0,1) B.C. D.解析特殊情况a1时，直线为yxb与x轴交于(b,0)，与直线BC：xy1交于，结合图形可知(1b)，解得b1；10)上一点M(1，m)，到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_.解析根据抛物线的性质得15，p8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得21.故a.答案9(2013浙江卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点若|FQ|2，则直线l的斜率等于_解析设直线l的方程为xty1，联立得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，所以yQ2t，将yQ代入xty1得xQ2t21，|FQ|2(xQ1)2y4，代入得t0(舍)或t1，所以直线的斜率为1.答案1三、解答题：本大题共3小题，共30分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤10(本小题10分)(2013安徽卷)设椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上解(1)因为焦距为1，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c.由题设知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，直线F2P的斜率kF2P.故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y，即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)将代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上11(本小题10分)(2013辽宁卷)如图所示，抛物线C1：x24y，C2：x22py(p0)点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)当x01时，切线MA的斜率为.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)解(1)因为抛物线C1：x24y上任意一点(x，y)的切线斜率为y，且切线MA的斜率为，所以A点坐标为，故切线MA的方程为y(x1).因为点M(1，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0(2)，y0.由得p2.(2)设N(x，y)，A，B，x1x2，由N为线段AB中点知x，y.切线MA，MB的方程为y(xx1).y(xx2).由得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标为x0，y0.因为点M(x0，y0)在C2上，即x4y0，所以x1x2.由得x2y，x0.当x1x2时，A，B重合于原点O， AB中点N为O，坐标满足x2y.因此线段AB中点N的轨迹方程为x2y.12(本小题10分)(2013福建厦门质检)已知椭圆C：1(a)的右焦点F在圆D：(x2)2y21上，直线l：xmy3(m0)交椭圆于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)若(O为坐标原点)，求m的值；(3)设点N关于x轴的对称点为N1(N1与点M不重合)，且直线N1M与x轴交于点P，试问PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解(1)由题设知，圆D：(x2)2y21的圆心坐标是(2,0)，半径是1，故圆D与x轴交于两点(3,0)，(1,0)所以，在椭圆中c3或c1，又b23，所以，a212或a24(舍去，a)于是，椭圆C的方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)；直线l与椭圆C方程联立化简并整理得(m24)y26my30，y1y2，y1y2.x1x2m(y1y2)6，x1x2m2y1y23m(y1y2)99.，0，即x1x2y1y20，得0.m2，m.(3)M(x1，y1)，N1(x2，y2)，直线N1M的方程为.令y0，则xx14；P(4,0)SPMN|FP|y1y2|12 221.当且仅当m213，即m时等号成立，故PMN的面积存在最大值1.(或SPMN22.令t，则SPMN221.当且仅当t时等号成立，此时m22，故PMN的面积存在最大值1.) 1普通教学