空问想象力一、对空间观念的理解几何学科从事于几何体和图形的研究，研究它们的位置关系和量的关系。几何体是舍弃了 现实物体的物质属性（如密度、质量、颜色等）而仅仅从它的空间形式的观点加以考虑的数学 对象；几何图形是更一般的概念，其中甚至舍弃了空间的延伸。例如，三角形、平行四边形、 圆是二维的，直线是一维的，点是没有维的。点是关于线的顶端，关于精确到极限位置 的抽象概念，点已不能再划分为几部分。这样，几何以“纯粹形式”的现实物体的空间形式 和关系作为自己的研究对象。正是这种抽象程度导致几何研究方法的纯思辨性，对于没有厚 薄的平面、没有粗细的直线、没有“维”的点，对于“纯粹形式”，我们无法通过做实验来 得出结论，只有用直觉思维和逻辑推理的方法从一些结论导出一些新结论，而且最终一定要 通过逻辑推理和证明来得出几何定理。空间观念在研究数学以及其他科学中都是非常重要的，在基础教育阶段，它的育人功能 也是不可替代的。杨乐院士说：,我觉得平面几何的作用非常大。欧几里得的几何可以说是 人类历史上在学术和理论上第一个系统和完美的理论，它从五条公理就可以推出那么丰富的 内容。我想，在它之前，甚至和它同时代的，比它晚一点的其他理论都无法与之比如我想， 无论是几何直观能力的培养，还是从平面几何学习中受到的很严谨的逻辑推理能力训练，对 中学生来讲都是非常重要的。虽然以后不会在生产、生活或工作让你去证明或使用,两个三 角形的对应边相等，那么这两个三角形全等，但在平面几何中进行的几何直观能力和逻辑推 理能力训练是很重要的。”空间观念主要表现在:能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的开关， 进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较 复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图 形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题， 利用直观来进行思考。所以，几何的学习和研究是一种,思想实验”，直观与逻辑、推理与证明是几何的,内 在之物”。通过几何学习，学生可以在掌握几何图形及其结构、几何关系及其度量的基础上， 学会建立和操作平面或空间内物体的心智表征，学会从不同角度观察一个物体，形成准确感 知直观世界的能力；能从“纯粹形式”的空间形式和关系的角度对物体进行抽象与推理论证， 形成空间想象力与逻辑推理能力。这是几何思维的重要方面，而几何思维是所有高水平数学思维所必不可少的。同时，几何证明是中学阶段几何学习的核心内容，这是培养学生逻辑 思维能力的最重要时机。二、空间想象力的衡量指标空间想象力是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能力，它的特点在于善 于在头脑中构成研究对象的空间形状和简明的结构，并能在离开实物的条件下，在头脑中对 空间元素进行一系列操作和变换，对它们的位置关系进行相应的分析、归纳和概括等。空间想象力的衡量指标主要包括下面几个方面：第一，对基本的几何图形（平面与立体）的熟悉程度，包括熟悉图形的特征和它们之间的 关系；能正确画图；能在头脑中分析基本图形中基本元素之间的度量关系及位置关系；等。第二，用坐标和向量等表明位置和描述空间关系的熟练程度，包括能借助坐标系或向量 正确地表征几何图形，以建立代数与几何的联系；能熟练地建立坐标系并用坐标法分析问题 和探讨数学，能熟练地用向量法解决某些几何问题；等。第三，能正确地借助对称、变换等原理，分析几何图形的形状特征及几何元素的位置关 系。第四，熟练地识图，包括能从复杂的图形中区分出基本图形；能在平面图形、立体图形 和它们的表征之间进行转换；等。三、中学生空间想象力发展的特点1. 几何思维的五级水平弗赖登塔尔的学生海尔(Van Hiele)提出的数学化过程的教学理论中，把几何思维区分为五个水平：0水平：直观。其特征是学生借助直观，笼统地从整体外表上接受图形的概念，但并不理解其构造和相互之间的关系，也不会进行比较。1 一水平：分析。其特征是学生开始识别图形的构造和相互之间的关系，也能借助于观察、作图等方法非正式地建立起图形的许多性质，但未掌握其间的逻辑联系。2 水平：抽象。其特征是学生形成了抽象的定义，也能建立图形概念与性质之间的逻 辑次序，但尚未对演绎的实质含义形成清晰的观念。根据思维变化与对象的不同特点，会混合使用实验观察与逻辑推理等各种不同的推导方法，但还 没有理解公理的作用，自然更谈不上对数学内在结构体系的掌握。3 水平：演绎。其特征是学生抓住了整个演绎体系，能在以不定义的基本关系和公理 为基础的数学体系内进行形式推理，理解构造和发展整个体系的逻辑结构，能理解并分析相 互之间的逻辑关系。4一水平：严谨。其特征是学生领会了现代公理系统的严密性，对于几何对象的具体性 质及几何关系的具体含义都可以不作解释，而是完全抽象地建立一般化的几何理论，这实质 上已经将几何提高到一个广泛应用的领域。2. 中学生空间想象力发展的特点一般来说，学生几何思维的发展应当循序渐进地经历上述各级水平。与上述五个水平相 对应，几何知识的掌握也需要经历五个阶段。在某一水平上进行的组织活动，往往成为下一 水平的研究对象，通过重新组织又提高到一个新水平。在这不断提高水平的过程中，学生研 究抽象层次逐渐提高的几何知识，逐渐学会处理几何问题的方法，同时也掌握了几何知识。与几何知识的掌握和几何思维的发展相适应，学生的空间想象力也由低水平到高水平顺 次发展。从借助直观，通过整体形状来认识二维或三维的几何图形，分析出简单几何图形， 发展到能够从图形的结构和相互关系的角度认识图形，由较复杂的组合图形分解出简单的、 基本的图形，在基本的图形中找出基本元素及其关系；再到能够用抽象的定义，使用实验观 察、逻辑推理等各种不同的推理方法，认识和理解几何对象的某些性质和几何关系；最后发 展到能在一个,扩大的公理体系”中进行简单的逻辑推理，初步了解几何体系的逻辑结构， 并能用恰当的工具（坐标系、向量等）解决几何问题。这种发展次序是不可改变的。中学生空间想象力的发展具有年龄特征，表现在：每一级水平的空间想象力都随着年级 的升高而呈上升发展的趋势。其中，初二学生的空间想象力在第1，2级水平上，与初一学生 相同水平层次上的能力相比并没有多大进步，相反地，在第3级水平上还有所滑落。到初三， 前两级水平有一个飞速的发展，这一发展速度要大大超过其他时期的发展速度，这表明初二 是空间想象力发展的关键期。因此，初二数学课程要注意丰富和加强几何（特别是平面几何） 内容，以与学生的空间想象力发展关键期相适应，使学生的空间想象力在初三实现质的飞跃。对同一年级的学生而言，随着能力水平层次的升高，进入到高一级水平的学生人数在不 断下降，即随着能力水平的提高，达到相应水平层次的学生人数越来越少。在中学阶段，彳艮 少学生能达到第3级水平，几乎没有学生能够达到第4级水平。学生从初二开始具备对三维几何图形的较低水平层次的想象力，但还不具备对三维几何图 形的高层次想象能力，这需要具备对二维几何图形的较高认识水平之后才能实现。另外，从 学生认识三维几何图形的能力发展过程来看，他们首先达到对几何形状的整体想象，然后达 到对整体几何图形的分解与组合等。3. 对几何课程体系的思考我国以往几何课程体系，是在初中二年级开始安排带有一定公理化性质的平面几何；初三 除了继续安排平面几何知识外，还安排了简单的三视图内容；高一开始安排立体几何、解析 几何及向量几何等。这样的课程结构体系与学生空间想象力的发展规律基本吻合，但还需要 改进。因为以公理化方式组织的几何课程结构体系，对于培养学生的逻辑推理能力是非常有 好处的，但对于培养学生的空间想象力有一定的不利影响。所以，从初中二年级开始，应当 适当渗透观察三维图形、了解图形的整体性质等方面的内容和要求；平面几何内容的安排， 在保持,扩大的公理化体系”、注重逻辑演绎、强调严谨准确的前提下，要加强平面几何定 理的发生发展过程，以利于渗透合情推理成分，从而使平面几何教学更加符合学生思维发展 规律，使几何教学目标更加全面（逻辑推理与合情推理并重，培养学生的几何探究能力）；立 体几何的课程结构，应当改变,四个公理空间点、线、面的位置关系空间几何体” 的组织体系，先安排对空间几何体进行整体认识的内容，然后安排对整体几何图形的分解与 组合空间点、线、面的位置关系和度量问题。这样安排，不仅能够使课程内容与学生空 间想象力发展规律相吻合，而且能使空间想象力的培养得到加强，并能使合情推理与逻辑推 理并重，从而全面实现几何教育功能。四、中学生空间想象力的培养我们知道，学生空间想象力较差，往往是他们学习有关空间图形知识的绊脚石。由于 空间想象力不可能一蹴而就，所以要想顺利地发展这种能力，往往要求提前对学生进行长期 而耐心细致的培养和训练。1 .构建一个从直观理解到形式化处理的几何学习过程任何几何学习都可以从直观理解和形式化处理这两个极端之间的某一处开始。但是，从 整体上看，几何学习应当根据学生思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展的规律，从直观、 形象开始，通过,局部演绎”方法，逐渐使学习走向形式化、公理化，并最终学会依照公理化思想处理问题的方法，学会评价和应用 一些严谨的推理方式。在这个过程中，逐渐使学生体会直观与逻辑、直觉与证明之间的关系， 培养学生的空间观念和科学的思想方法。在几何内容的安排上，一般是在小学及初中二年级之前安排,实验几何”，学生根据自 己对生活空间的知觉和日常经验，在实验操作的基础上，通过类比、归纳的思维方式，建立 起对空间各种几何元素的位置和数量关系的认识，形成空间观念和几何直觉。在这个过程中 逐渐渗透,综合几何”的某些思想。在初二以后，逐渐过渡到以欧氏几何的逻辑结构为主要 理论框架，适当简化其公理系统，并以欧氏几何的综合方法（如全等、相似、添加辅助线等） 为主要论证方法的演绎几何，使学生掌握初步的公理体系和组织科学理论的逻辑方法，养成 周密合理的思考习惯，精确严谨的语言和抽象概括的能力。同时，在初中引入直角坐标系， 使学生逐渐体会,数”与“形”之间的内在联系，作为一些数形结合处理问题的方法。在基 本掌握有关的几何知识和逻辑推理方法后（这时，相应的代数知识准备也已比较充分），再引 入系统的解析几何，通过学习一些必要的基础知识，重点放在掌握一种重要的思想方法一一 解析法，从而使学生形成数形结合的思想：几何情境与其代数模型紧密联系，数值计算可以 得到几何解释。2.强调,识图”能力的培养几何主要处理图形信息。“图形”是对现实世界中客观事物空间形式的抽象，几何则是 对“图形”的形状、大小和位置关系的研究。这样，在几何学习中，图形是作为几何的研究 对象而存在的。所以，使学生能正确地,看图”“读图”，顺利地从图形中得到需要的关键 信息，就成为培养空间想象力的首要任务。在培养“识图”能力的过程中，如下两个问题特别值得重视：（1）强调学生动手操作强调学生亲自动手操作的目的是为了使他们获得关于几何元素之间关系的直觉经验，借 助于运动、变化着的直观形象，在操作过程中产生思维活动，实现对几何体的特征和性质的 认识，不仅能为后续的抽象思维提供丰富而生动的素材，而且还能引起学生的思考、探索与 研究，发展关于几何关系的数学论证，使思维由经验型向理论型深化。实际上，在学生实际 动手操作的过程中，他们的思维活动就同时展开了，边演示、边思考，在相互交替中推进对 几何知识的理解。在具体实践中，可以让学生自己制作学具，通过图片的剪拼、接合、翻折、旋转、平移、放缩等活动，来体验全等、相似、平移、对称、旋转等变换，在此基础上 对学生提出严格的作图、测量的要求。例如，学习,对称”概念，可以与“图形对折”这一操作活动联系起来，在教学中适时地 让学生动手操作：学习,三角形的