中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)正方体的模型功能之内置多面体模型解题法之二 我们把正方体中的部分几何体为正方体的內置多面体;构造正方体的内置多面体,并以此模型为基础,设计有关问题,是高考命题的常用方法;解答该类问题的关键是掌握正方体中常见的內置多面体.母题结构:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,()设计四面体ACDD1为正方体ABCD-A1B1C1D1的一角四面体的条件;()寻找构造正方体的内置多面体.母题解析:()四面体ACDD1的三条侧棱DA、DC、DD1两两垂直,且长度相等;四面体ACDD1的三条侧棱DA、DC、DD1两两垂直,且ACD1是正三角形;若AC的中点为E,DD1、DE、AC两两垂直,EA=EC=ED,AD1C=600;若AC、AD1的中点分别为E、F,DEAC,DEF与ACD1都是正三角形;()若AC的中点为E,四棱锥E-CDD1C1;若正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则正四棱锥O-ABCD;若正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,BC1的中点为E,多面体ABCDEO;若AA1的中点为E,四棱锥E-ACC1E. 1.正方体一角四面体 子题类型:(2006年全国高考试题)如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=BM=MN=a.()证明:ACNB;()若ACB=600,求NB与平面ABC所成角的余弦值.解析:()由AM=BM=MN=aBNAN;又由CNAB,CNNMCN平面ABNCNBNBN平面ACNBNACACNB;()由NMAB,AM=BMNA=NBCA=CB;又由ACB=600ABC是正三角形,把几何图形放置到正方体中,如图,则ND平面ABCNB与平面ABC所成角与BND互余NB与平面ABC所成角的余弦值=sinBND=.点评:正方体ABCD-A1B1C1D1的一角四面体ACDD1具有丰富的性质,是高考命题的重要载体,设计一角四面体ACDD1的隐蔽条件是构造该四面体的关键,也是构造创新型试题的一个主要方法. 2.构造内置多面体 子题类型:(2010年安徽高考理科试题)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EFAB,EFFB,AB=2EF,BFC=900,BF=FC,H为BC的中点.()求证:FH平面EDB;()求证:AC平面EDB;()求二面角B-DE-C的大小.解析:把多面体ABCDEF放置到正方体中,如图,设AC与BD的交点为O;由AB=2EF=2,EFABEF平行且等于OHFHOE,且OE平面EDBFH平面EDB;()由BF=FC,H为BC的中点FHBC,由EFAB,ABBCEFBC,又EFFBEF平面BCFEFFHFHEFFHABFH平面ABCDFHACEOAC,又因ACBDAC平面EDB;()由AC平面EDB,BF平面CDE,且二面角B-DE-C的大小为锐角二面角B-DE-C的大小=直线AC与BF的成角=.点评:构造正方体的内置多面体是高考命制立体几何载体的重要方法,以正方体的顶点、各棱中点、各面中心和正方体的中心中的部分点为顶点,可以构造出许多几何体,也是构造正方体的内置多面体的主要方法. 3.正方体的解题功能 子题类型:(2005年福建高考试题)如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF平面ACE.()求证:AE平面BCE;()求二面角B-AC-E的大小;()求点D到平面ACE的距离.解析:()由BF平面ACEBFAEAEBF,在直二面角D-AB-E中,BCABBC平面ABEBCAEAE平面BCE;由AE平面BCEAEBE;把几何图形放置到正方体中,如图;()由BB1平面ABC,BD1平面ACB1二面角B-AC-E的大小=B1BD1互余二面角B-AC-E的余弦值=cosB1BD1=;()点D到平面ACE的距离=点D到平面ACB1的距离=直线DC1上任一点到平面ACB1的距离=正方形CDD1C1的中心O到平面ACB1的距离=O到直线CE的距离=.点评:把正方体的内置多面体放置到正方体中,依托正方体模型解题功能有:可以直观衬托出几何体的基本结构;可以扩大丰富了解题空间;可以充分利用正方体的相关结论. 4.子题系列:1.(2008年北京高考试题)如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,ACB=900,AP=BP=AB,PCAC.()求证:PCAB;()求二面角B-AP-C的大小;()求点C到平面APB的距离.2.(2005年辽宁高考试题)已知三棱锥P-ABC中,E、F分别是AC、AB的中点,ABC、PEF都是正三角形,PFAB.()证明:PC平面PAB;()求二面角P-AB-C的平面角的余弦值; ()若点P、A、B、C在一个表面积为12的球面上,求ABC的边长.()由球的表面积为12球的半径R=PA=PB=PC=2ABC的边长=2.3.(2008年江西高考试题)如图,正三棱锥0-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2.E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知OA1=.()求证:B1C1平面OAH;()求二面角O-A1B1-C1的大小.4.(2010年安徽高考文科试题)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EFAB,EFFB,BFC=900,BF=FC,H为BC的中点.()求证:FH平面EDB;()求证:AC平面EDB;()求四面体B-DEF的体积;5.(2007年浙江高考试题)在如图所示的几何体中,EA平面ABC,DB平面ABC,ACBC,且AC=BC=BD=2AE,M是AB的中点.()求证:CMEM;()求CM与平面CDE所成的角.6.(2010年天津高考试题)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,FA平面ABCD,BCAD,CD=1,AD=2,BAD=CDA=450.()求异面直线CE与AF所成角的余弦值;()证明:CD平面ABF;()求二面角B-EF-A的正切值. 5.子题详解:1.解:由AC=BC=2,ACB=900AB=2AP=BP=AB=2,又由PCACPC=2,在PBC中,PC=2,BC=2,PB=2PCBC,故可放置到正方体中,且正方体的棱长为2;()由PCAC,PCBCPC平面ABCPCAB;()由BC平面ACP,CQ平面ABP二面角B-AP-C的余弦值=cosBCQ=;()由点C到平面APB的距离=CQ=.2.解:()由E、F分别是AC、AB的中点EF=BC;ABC、PEF都是正三角形PE=AC,PF=ABPCAP,PAPBRtACPRtABPPC=PB;由PFABPA=PBPA=PB=PCACPBCPBPC=APC=900PCBPPC平面PAB;()由PC平面PAB,PQ平面ABC二面角P-AB-C的平面角的余弦值=cosQPC=;3.解:()由E、F分别是AB、AC的中点EFBCEF平面OBCEFB1C1;由H是EF的中点AHEF,OHEFEF平面OAHB1C1平面OAH;()分别以直线OA,OB,OC分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图,由OA1=OB1=OC1=3平面A1B1C1的法向量m=(2,1,1),又平面OA1B1的法向量n=(0,0,1)cos=.4.解:把多面体ABCDEF放置到正方体中,如图,设AC与BD的交点为O;()由AB=2EF=2,EFABEF平行且等于OHFHOE,且OE平面EDBFH平面EDB;()由BF=FC,H为BC的中点FHBC,由EFAB,ABBCEFBC,又EFFBEF平面BCFEFFHFHEFFHABFH平面ABCDFHACEOAC,又因ACBDAC平面EDB;()由四面体BDEF的高为BF=,DEF的面积=EFCF=四面体BDEF的体积=.5.解:()把几何体放置到正方体中,如图,由EA平面ABCEACMCMEA;又由AC=BC,M是AB的中点CMABCM平面ABECMEM;()作MHDE于H,由CM平面ABECMDEDE平面OMHMCH是CM与平面CDE所成的角,不妨设AE=1,则AC=BC=BD=2CM=,CE=,EM=,DM=,CD=2,ED=3MH=,CH=2MCH=450.6.解:在四边形ABCD中,由BAD=CDA=450ABCD于O;由BCAD,CD=1,AD=2BC=,B,C分别为OA,OD的中点,把五面体ABCDEF放置到正方体中,如图:()由AFDE异面直线CE与AF所成角=CEDcosCED=;()由FA平面ABCDFACD;又由CDABCD平面ABF;()作BHAD于H,HPEF于P,则BPH是二面角B-EF-A的平面角tanBPH=.