2019-2020年高中数学1.1空间几何体1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征课后训练新人教B版必修21过正棱台两底面中心的截面一定是()A.直角梯形B.等腰梯形C.一般梯形或等腰梯形D.矩形2如图所示是一个简单多面体的表面展开图(沿图中虚线拆叠即可还原)，则这个多面体的顶点数为().A.6B.7C.83. 平行六面体的两个对角面都是矩形，且底面是正方形，则此平行六面体一定是()A.直平行六面体B.正四棱柱C.长方体D.正方体4. 正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm,那么它的中截面(过各侧棱中点的截面)面积为().A.2cm2B.16cm2C.25cm2D.4cm25. 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是().A.(0,+)B.C.(,+D.6. 下列关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题的序号是.7. 个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4:9,则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分之比为.8. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是.(写出所有正确结论的序号) 矩形； 不是矩形的平行四边形； 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； 每个面都是等边三角形的四面体； 每个面都是直角三角形的四面体.9. 已知长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，求这个长方体的对角线长.10. 如图，正六棱锥的底面周长为24，O为底面中心，H是BC的中点，ZSH0=60.求：(1)棱锥的高；(2)斜高；参考答案1. 答案：C2. 答案：B还原几何体，如图所示由图观察知，该几何体有7个顶点3. 答案：B根据两个对角面是矩形可知侧棱和底面垂直，所以首先是直四棱柱再根据底面是正方形可知是正四棱柱4. 答案：B如图所示，取AA,B的中点分别为E,F,.*.EF=X(3+5)=4(cm).S=42=16(cm2).中截面5. 答案：D由正四棱锥的定义知正四棱锥S-ABCD中，S在底面ABCD内的射影0为正方形的中心，而SAOA=AB,.，即.6. 答案：根据直四棱柱的性质判断.7. 答案：2:1如图，设棱锥为S-ABCD,截面为ABCD,贝叽&答案：在如图所示的正方体ABCD-ABCD中，四边形ABCD、四边形ABCD等都是矩形，故正确；A厂ABD是有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，故正确；ai-bcid是每个面都是等边三角形的四面体，故正确.因此都符合条件9. 答案：解：设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为a,b,c,对角线长为l.则有2(ab+be+ca)=11,a+b+e=6,由平方，得a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=36,a2+b2+c2=25,即，1=5.这个长方体的对角线的长为5.10. 答案：分析：棱锥中有关量的计算主要是通过解直角三角形得到的解：正六棱锥的底面周长为24,正六棱锥的底面边长为4.在正六棱锥SABCDEF中，TH是BC的中点，.SH丄BC.在RtASOH中，VZSHO=60,.:高SO=OHtan60=6.在RtASOH中，斜高SH=2OH=.如图，连接OB,在RtSOB中，SO=6,OB=BC=4,侧棱长SB=.SO2+OB2=213.2019-2020年高中数学1.1空间几何体1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征课堂探究新人教B版必修2探究一棱柱的结构特征判断一个几何体是棱柱的依据及关键点(1) 依据：判断是否是棱柱要紧扣棱柱的定义(2) 抓住三个关键点 底面：两个多边形全等且所在平面互相平行. 侧面：都是平行四边形. 侧棱：互相平行且相等.以上三点缺一不可典型例题1】(1)下列几何体是棱柱的有()A5个B.4个C.3个D.2个解析：棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行，当一个几何体同时满足这三方面的特征时，这个几何体才是棱柱. 上述三方面的特征都符合，是棱柱；没有两个平行平面，所以不是；符合条件,是棱柱；虽然有两个平面平行，但其余各面不是平行四边形，因此不是;只有三角形的面，没有符合的一个条件，所以不是；有两个平行平面，但其余各面中有的不是平行四边形，所以不是.因此符合条件的只有.答案：D(2) 给出下列几个结论： 长方体一定是正四棱柱. 正方体一定是正四棱柱. 长方体一定是直棱柱. 有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.其中错误的是.(填序号)解析：侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱，而底面为正多边形的直棱柱为正棱柱.对照各结论知错误.答案：探究二棱锥、棱台的结构特征判断棱锥、棱台的常用方法有：(1) 举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确(2) 直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点【典型例题2】判断以下说法，正确的是()A. 所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥B. 三棱锥的每一个面都可作为底面C. 底面是正多边形，各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥D. 正棱锥的所有棱长都相等解析：如图(1)的几何体所有的面为三角形，但不是三棱锥，故A错.如图(2)中，棱AD=1,其余棱长为2，满足题意，但不是正三棱锥，故C错.正棱锥中，所有侧棱长都相等，故D错.而三棱锥又称四面体，每个面都是三角形，故每个面都可作为底面，故B正确.答案：B【典型例题3】下列关于棱锥、棱台的说法：(1) 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台(2) 棱台的侧面一定不会是平行四边形(3) 棱锥的侧面只能是三角形(4) 由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥(5) 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥其中正确说法的序号是解析：(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2) 正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3) 正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；(4) 正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥.P答案：(2)(3)(4)探究三有关正棱锥、正棱台中的计算问题1正棱锥、正棱台中的直角三角形，正棱锥中的几个重要的直角三角形如图所示正棱锥中，点0为底面中心，M是CD的中点，贝SOM,ASOC均是直角三角形，很明显,SMC,A0MC也是直角三角形.VBC2.正棱台中的几个重要的直角梯形：如图所示，由斜高、侧棱构成的直角梯由斜高、高构成的直角梯形O1E1EO，由高、侧棱构成的直角梯形O1OCC1.【典型例题4】(1)若正四棱锥的底面积为4，侧棱长为2，贝其斜高为.解析：正四棱锥的侧面为等腰三角形，如图，作PE丄CD于点E,则PE为斜高，E为CD的中点.由底面积为4,知底面边长为2,在RtAPCE中，PC=2,CE=1,所以PE=.答案：(2)一个正四棱台的上、下底面面积分别为4,16，一侧面面积为12，求该棱台的斜高、高、侧棱长解：如图，设O,O分别为上、下底面的中心，即00为正四棱台的高，E,F分别为BC，BC的中点，则EF丄BC，EF为斜高.由上底面面积为4,上底面为正方形，可得BC=2；同理，BC=4.因为四边形BCCB的面积为12，所以X(2+4)EF=12,所以EF=4.过B作BH丄BC交BC于点H，则BH=BF-BE=2-1=1，BH=EF=4.在RtABBH中，BB=.同理，在直角梯形OOFE中，计算出O0=.综上，该正四棱台的侧棱长为，斜高为4，高为.探究四立体图形的展开问题解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题，一般都是将空间几何体表面按某一种方式展开，转化为求平面内两点间的线段长，这体现了数学中的转化思想.【典型例题5】如图所示，在四面体PABC中，PA=PB=PC=2.ZAPB=ZBPC=ZAPC=30，一只蜜蜂从A点出发沿四面体的表面绕行一周，再回到A点，求蜜蜂经过的最短路程.解：将四面体沿PA剪开，并展成如图所示的平面图形，则AA就是所求的最短路程.因为ZAPAz=90为探究五易错辨析易错点：对棱柱、棱锥、棱台的结构把握不清而致误典型例题6】如图所示，关于几何体的说法正确的序号有(1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；(3) 这是一个四棱柱；(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；(5) 此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到错解：答案中含有(2)错因分析：未对几何体侧棱延长后是否交于一点验证，而直接由侧面是否为梯形做出误判正解：(1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3) 正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；(4)(5)都正确，如图所示答案：(1)(3)(4)(5)