湖南省郴州市一中高三十二月月考理科数学一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，若，则（ ）A. 3B. 2C. 3或2D. 3或1【答案】A【解析】【详解】由题，且，当 ，符合题意；当 ，此时，不符合题意.故 故选A.2.若复数的共轭复数是，且满足，则复数在复平面内对应的点为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设，则 复数在复平面内对应的点为 .选 B .3.已知命题关于的方程有实根，则在区间上的使命题为真命题的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题命题关于的方程有实根，即或 ，则在区间上的使命题为真命题的概率为 .故选D.4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 故选B.5.在中，边所对的角分别为，且，则（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】D【解析】 由正弦定理可得 故选D.6.设各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则（ ）A. 242B. 162C. 80D. 54【答案】B【解析】由题各项均为正数的等比数列， 两式相比，可得（负值舍去），代入 故选D.7.如图，在中，过点且平行于的直线与线段交于点，记四边形的面积为，则函数的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由图可知直线的斜率为2，设其方程为 由两点式可得 联立方程得 ，由题四边形为梯形，其面积 结合选项可知选D8.阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（ ）A. 12B. 18C. 120D. 125【答案】C【解析】第一次运行：为奇数， 第二次运行：为偶数， 第三次运行：为奇数， 第四次运行：为偶数，程序终止运行，输出 故选C.9.在中，为斜边上的高，则（ ）A. 6B. 3C. -6D. -3【答案】D【解析】由题意 ，则 又 故选D.10.已知函数的图像经过点和，当时，方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为点在函数图像上， 又点 在函数图像上， 当方程有两个不等的实根时，已知函数d的图像与直线有两个不同，由图像可知 故选D.11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 如图，由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为正方形，侧面底面，过底面的中心作底面的垂线，则该几何体的外接球的球心在该垂线上，过作侧面 则垂足在的高线上，连接 ，则为球的半径，设 则 ，解得 故该几何体的外接球的表面积为 故选A.12.已知双曲线的离心率，对称中心为，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，的面积为，则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题点所在的渐近线为三个该渐近线的倾斜角为，则 所以直线的倾斜角为 则与联立解得 因为双曲线的离心率， 与联立得 ，故双曲线的方程为.故选C.二、填空题：本题共4小题，每题5分，满分20分.13.已知实数满足约束条件，则的取值范围是_【答案】【解析】线性约束体积表示的可行域如图所示，当目标函数与重合时取得最小值1，当目标函数经过点时母函数取得最大值，故，的取值范围是.即答案为.14.二项式的展开式中，项的系数是60，则项的系数是_【答案】-192【解析】展开式的通项是项的系数是得到 则项的系数是即答案为-192.15.抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到点的距离都等于5，则抛物线的方程为_【答案】【解析】抛物线的焦点为，则点到周的距离为 线段的中点坐标为，由 可得 ，抛物线的方程为.即答案为.16.点分别是函数、图像上的点，若关于原点对称，则称是一对“关联点”.已知，则函数、图像上的“关联点”有_ 对【答案】2【解析】令 表示圆心为 ，半径为2 的半圆，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，在作出函数，由图像可知，满足条件的“关联点”有2 对.即答案为2.【点睛】本题主要考查新定义题目，其中正确题意，再利用数形结合的思想是解决本题的关键.三、解答题 ：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知是公差不为0的等差数列，满足，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列可知，又，解得即可得出（2）由（1）知，所以，可得 ，再利用裂项求和方法即可得出试题解析：（1）设等差数列的公差为，依题意有，即，因为，所以，解得（舍去）或，所以数列的通项公式为.（2）由（1）知，所以，所以，所以 ，所以 .18.某商场建成后对外出租，租赁付费按年收取，标准为：每一个商铺租赁不超过1年收费20万元，超过1年的部分每年收取15万元（不足1年按1年计算）.现甲、乙两人从该商场各自租赁一个商铺，两人的租赁时间都不超过3年.设甲、乙租赁时间不超过1年的概率分别为，；租赁时间1年以上且不超过2年的概率分别为，.甲、乙租赁相互独立.（1）求甲租赁付费为50万元的概率；（2）求甲、乙两人租赁付费相同的概率；（3）设甲、乙两人租赁付费之和为随机变量，求的分布列与数学期望.【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）设“甲租赁时间不超过1年”为事件，“甲租赁时间1年以上且不超过2年”为事件，“甲租赁时间为2年以上且不超过3年”为事件.由题意知，由事件互斥，可求即为甲租赁付费为50万元的概率；（2）甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况：都是20万元，都是35万元，都是50万元，分别求出三种情况下的概率，求和即可得到甲、乙两人租赁付费相同的概率；（3）由题意知，甲、乙两人租赁付费之和的可能取值为40，55，70，85，100.求出各种情况下的概率可得分布列和期望.试题解析：（1）设“甲租赁时间不超过1年”为事件，“甲租赁时间1年以上且不超过2年”为事件，“甲租赁时间为2年以上且不超过3年”为事件.由题意知，又事件互斥，所以.所以甲租赁付费为50万元的概率是.（2）甲、乙两人的租赁付费相同的有三种情况：都是20万元，都是35万元，都是50万元，则都是20万元的概率为：，都是35万元的概率为：，都是50万元的概率为：，所以，甲、乙两人租赁付费相同的概率是.（3）由题意知，甲、乙两人租赁付费之和的可能取值为40，55，70，85，100.； ； ； .所以的分布列为：所以的数学期望 .【点睛】本题考查相互独立与互斥事件及对立事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力19.已知长方体中，为的中点，在棱上，.（1）若异面直线与互相垂直，求的长；（2）当四棱锥的体积为时，求证：直线平面.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：如图，以为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.得到相应点和相应向量的坐标，利用空间向量的夹角公式可得的长（2）证明：因为是长方体，在棱上，所以平面，所以四棱锥的体积，解得.此时为的中点，所以. 利用空间向量的知识可证得直线平面.试题解析：（1）如图，以为原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，.设，则，因为，所以，即，解得.所以，当异面直线与互相垂直时，.（2）证明：因为长方体，在棱上，所以平面，所以四棱锥的体积 ，解得.此时为的中点，所以.由（1）可知，.设平面的法向量为，则，即，令，得，所以，因为，所以，因为直线平面，所以直线平面.20.椭圆：的离心率为，椭圆截直线所得的弦长为.过椭圆的左顶点作直线与椭圆交于另一点，直线与圆：相切于点.（）求椭圆的方程；（）若，求直线的方程和圆的半径.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）由题意布列方程组求椭圆方程；（2）联立得；联立得，易得，解得.试题解析：（）由题意知，即，由椭圆截直线所得的弦长为，弦在第一象限的端点的坐标为，将代入上式，解得.椭圆的方程为.（）由（）知，设，设直线的方程为，联立，得，；联立，得，且；，解得，.21.设函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，证明： .【答案】（1）当，取得极小值；当时，取得极大值；（2）见解析.【解析】【试题分析】(1)当时,利用导数写出函数的单调区间,进而求得函数的极值.(2)当时,化简原不等式得,分别利用导数求得左边对应函数的最小值,和右边对应函数的最大值, 最小值大于最大值,即可证明原不等式成立.【试题解析（1）当时， ， 当时，在上单调递减； 当时，上单调递增； 当时，在上单调递减 所以，当，取得极小值；当时，取得极大值 （2）证明：当时，所以不等式可变为要证明上述不等式成立，即证明设，则，令，得， 在上，是减函数；在上，是增函数所以 令，则，在上，是增函数；在上，是减函数，所以，所以，即，即，由此可知【点睛】本小题主要考查函数导数与极值的求法.考查利用导数证明不等式成立的问题. 求函数极值的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间,并得出是最大值还是最小值.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标为（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线和曲线有三个公共点，求以这三个公共点为顶点的三角形的面积【答案】(1)，；(2)4.【解析】试题分析：（1）根据同角三角函数平方关系将曲线的参数方程化为普通方程，根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，（2）求两曲线交点得三个交点的坐标，再根据三点关系求三角形的面积.试题解析：（1）由消去参数，得，即为曲线的普通方程.由得，结合互化公式得，即为曲线的直角坐标方程.（2）因为曲线和曲线都是关于轴对称的图形，它们有三个公共点，所以原点是它们的其中一个公共点，所以中，解得三个交点的坐标分别为， ， ，所以所求三角形面积.23.已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，