实二次型化零空间及介值性的进一步讨论严剑龙（莆田学院数学系 指导教师：杨忠鹏）摘要: 如果有向量使,称为二次型的化零向量,本文首先研究了对给定实二次型的化零向量的代数结构，并将讨论推广至实二次型的介值性的研究,提出了满足介值性要求的解向量的概念,证明二次型的全部解集合不能构成线性空间也不能够构成线性流形,二次型的部分解集合能构成线性空间也能够构成线性流形,但所有的线性空间并不都能构成线性流形,且线性流形是不唯一的. 关键词：二次型 化零向量 介值性 化零空间 线性流形 Abstract: we call vector is the solution of quadratic formsif have vectormake.this paper study algebra structure of those vectors that can make the given real quadratic forms into the null vector, and then we further study the theorem of Intermediate characteristic of real quadratic forms, presents solution vectors concept that can satisfied the requirement for Intermediate characteristic of Quadratic forms.the all solution set of quadratic forms is proved not to constitution forms linear space and forms linear manifold, the partly of the solution set of quadratic forms is constitution to linear space and linear manifold ,but all linear space not can constitute to linear manifold , also the linear manifold is not unique.Keyword：Quadratic forms Make into the null vector Intermediate characteristic Make into the null space linear manifold0 引言0.1 记号表示实数域上的所有阶矩阵，表示阶单位矩阵,表示矩阵的秩若则称为实对称矩阵. 表示维的实向量实二次型正惯性指数为,负惯性指数为,符号差为.这里0.2 有关定义定义1 设是一实二次型,若存在有,使得,则称为二次型的化零向量.定义2 设可逆矩阵,使得 使实二次型化成规范形如果,若中的非零元素为1或-1,且有,则称为的基本化零向量.定义3 对给定实数,满足的向量称为的解向量.定义4 所谓实数域上维线性空间的线性流形,即其中为的子空间,的固定向量,且的维数称为流形的维数.一维线性流形称为直线,二维线性流形称为平面,更高维线性流形称为超平面. 定义5 满足方程 的正整数解称为勾股数,其中满足的又称为素勾股数（或本原解）.定义6 满足方程 的正整数解称为维勾股数.0.3研究现状本文是在研究阅读高等代和高等代数的基础上,并查阅了刘先所写的关于二次型的介值性,在此基础之上进一步提出了对二次型解向量的集合的代数结构的讨论,高等代课后习题介绍了二次型化零向量的存在,高等代里面介绍了存在两个线性无关的化零向量,并且在高等代的课后补充题里面还介绍了二次型存在一个维数为的化零子空间,刘先平的关于二次型的介值性这篇文章主要是证明了介值定理的存在性而并没有说明二次型解集合的代数结构,这三个已知条件一个比一个深入,但是它们都只是提到了化零向量的存在情况而并没有进一步说明这些化零向量所成的集合的代数结构,虽然高等代里面提到了二次型存在化零子空间,但是它并没有进一步说明这些子空间之间的关系,以及全部化零向量所构成的集合有什么代数结构,因此本文主要讨论的是这些解向量的集合的代数结构.0.4提出问题本文主要研究的是二次型解向量所成集合的代数结构.因此提出下例相关问题(1) 二次型全体解向量所构成的集合是否构成线性空间?(2) 二次型全体解向量所构成的集合是否线性流形?(3) 若二次型存在线性流形,那么线性流形是否是唯一的? (4) 二次型的化零向量的构造是否是唯一的1相关的已知结论化零向量的存在性最早出现在中命题 设是一实二次型且.若有实维向量,使得则一定存在实维向量,使得.文章2又进一步提出了存在两个线性无关的化零向量.命题 设为级实对称矩阵,与为两个线性无关的维向量, 则存在两个与线性相关的维向量,而线性无关,且.化零向量空间的存在性是给出的.命题 设二次型的秩为,则在中,存在维数为的子空间,则对任一向量,有,其中为二次型的符号差.命题 是一实二次型,若有维向量 ,若为介于与的任意实数,一定存在实维向.命题到命题说明了二次型的化零向量有三个结果,三种层次,命题说明了化零向量的存在性,命题说明了至少存在两个化零向量,命题说明了存在一个维数为的化零子空间,这三个命题一个比一个深入,但是它们都没有讨论二次型化零向量的其它代数结构,也没有说明存在的化零子空间是否是唯一的,如果不是唯一的,那么它们之间有什么联系,这些都有待于我们进一步探索.命题列出的是刘先在2007年6月份所发表的关于二次型的介值性,这篇文章主要是介绍二次型的介值性,这篇文章是本文的一个主要依据,本文也是在这篇文章的基础之上进一步研究的,主要是探索二次型是否存在线性流形且线性流形是否是唯一的.这些研究方向主要是源于这篇文章的. 2预备知识引理 任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的. 引理2 设是可逆的且， 有线性无关生成的子空间为,令,则是同构的.证明 因为,则有 ,所以有，因为是可逆的,所以有又因为都是有限维的.则是同构的. 证毕. 引理 数域上线性空间的一个非空子集称为的一个线性子空间,如果对于的两种运算也构成数域上的线性空间.1.如果中包含向量，那么就一定同时包含域中的数与的数量乘积2如果中包含向量与,那么就同时包含与的和.3 主要结果3.1 二次型的化零空间存在定理3.1.1 设二次型秩为,则在中,存在维数为的化零空间,即对任一向,其中为二次型的符号差.证明 对于,存在可逆矩阵,使得, （1）其中 则有 (2) （1） ，（其中 表示第个元素为1,第个元素为1,其于的元素为0的实向量.）显然线性无关,令设此时由（1）可知线性无关，设由引理3可知下证这样由（2）得,对任意的由(1)得有这样由(2)可知这就说明是的化零空间. (2)，,显然线性无关,且且的维数同时从这样从引理3可知与(1)的讨论相似,可知当也即对任意的,由(1)知有使得,再从(2)得,对任意的有则为的一组化零空间,即是的化零空间.说明: 当时,则可由定理3.1.1可得出命题,则定理3.1.1是命题的一个推广.推论3.1.1 题设与定理3.1.1相同,则定理3.1.1中没有包含 中的全部的化零向量.证明 设 由(2)也有,但不能有线性表出下用反证法证明假设当时能有(3)中的线性表出,即有,使得,令 即为二次型的化零向量.但是因为矛盾.则不能由线性表出,则从(2)知根据,使得即是的化零向量.从引理3知同构, ,又由于表示的唯一性知,则没有包含的全部的化零向量. (2) 当时也同理可证得还有不在里面的的全部的化零向量. 证毕.推论3.1.2 题设与定理3.1.1相同,是定理3.1.1中的化零空间,则还存在另外一个化零空间且.证明：依定理3.1.1的解法 ,由定理3.1.1的证明可知使得,进而可得(1) 当时(i) 当时,设 由(1)知存在，且之间线性无关.令, 存在且由(2)可知即 则有,则为化零空间.下证，则有且则有 则也存在使得 因为,则由(3)和(5)知线性无关,由此可得也即(ii) 当时设 ,则相应存在 且之间线性无关. 令,同理可类似(1)的证明可得是二次型的化零空间且有. (2)当时也同理可证存在是二次型的化零空间且有. 证毕.3.2 二次型存在比较一般的化零空间.下面给出更一般的结论：定理3.2.1 设二次型的秩为,则在中,存在维数为的化零空间. 证明： 若 令， ，(7)由(7)知线性无关，因而构成子空间,的维数为 由(2)知,对由引理3知线性无关.对任意的,由(1)知有使得,由(2)和已证的知若时，,(8)由(8)知线性无关，因而构成子空间,的维数为 由(2)知,对由引理3知线性无关.对任意的,由(1)知有使得,由(2)和已证的知.证毕.推论3.2.1 设实二次型的秩为,分别为的正负惯性指数,则有个基本化零向量.证明：则当对任意令存在,且有 存在,且有,存在,且有,在上面定理3.1.1,定理3.2.1及推论的证明中,由(3)-(7)所确定的基本化零向是得到相应的化零空间的基本元素.则设类似前面的讨论可知分别是(9)(10)(11)所确定的的基本化零向量为生成元生成的化零空间,由(1)可知是到的双射由(9)(10)(11)是线性无关的可知由(9)(10)(11)所确定的基本化零向量互不相同,且有也即含有个基础化零向量.定理3.2.2设二次型秩为,则的全部基本化零向量不构成线性空间.证明 由推论3.2.1知至少有(9)(10)(11)所确定的个基本化零向量.设为这个基本化零向量所构成的集合. 可设，,则存在由(1)(2)知但则也即对加法运算不封闭,因此不构成线性空间.3.3 二次型的解集合存在线性流形定理3.3.1 设是一实二次型,存在维则的解向量存在且不唯一,且的全部解向量不构成线性空间.证明 由命题