近年北大清华自主招生试题汇编2010北大自主招生（三校联招）1（仅文科做），求证：（25分）2为边长为的正五边形边上的点证明：最长为（25分）3为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值（25分）4向量与已知夹角，在时取得最小值，问当时，夹角的取值范围（25分）5（仅理科做）存不存在，使得为等差数列（25分）2009北大自主招生数学试题1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半径。2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。求证：2009为数列中一项。3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x均有acosx+bcos2x=-1恒成立，求a+b的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？2008北大自主招生数学试题1 求证：边长为1的正五边形对角线长为2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1 求证ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半。3 已知4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）5（理科）O-XYZ坐标系内 xoy平面系内绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2 求C上未被照到的长度 2009年清华大学自主招生数学试题设的整数部分为，小数部分为求；求；求2为实数，且，求证：对于任意正整数，为正实数，求证：，其中为的一种排列3请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论4已知椭圆，过椭圆左顶点的直线与椭圆交于，与轴交于，过原点与平行的直线与椭圆交于求证：，成等比数列5已知，设，求6随机挑选一个三位数求含有因子5的概率；求中恰有两个数码相等的概率7四面体中，求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；设三个面与底面所成的角分别为，求证：8证明当均为奇数时，曲线与轴的交点横坐标为无理数 9设均为整数，性质为： 对中任意个数，存在一种分法可将其分为两组，每组个数，使得两组所有元素的和相等求证：全部相等当且仅当具有性质2009年清华大学自主招生数学试题（文科）1已知数列，且求证：是等差数列；求所在的直线方程212名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门求此3名男性被分别分到不同部门的概率；求此3名男性被分到同一部门的概率；若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率3一元三次函数的三次项数为，的解集为若，求的解析式；若在上单调增，求的范围4已知，求点的轨迹；直线与交于点、，求（为原点）5设求证：求的最值，并给出此时，满足的条件若，求，不符合时的条件2008届清华大学自主招生试题1. 已知都是有理数，也是有理数，证明：都是有理数；2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是，求的面和的面所成的二面角；3. 求正整数区间中，不能被整除的整数之和；4. 已知，求的取值范围；5. 若，求；6. 证明：以原点为中心的面积大于的矩形中，至少还有两个格点。2007清华大学自主招生数学试题1.求的单调区间及极值.2.设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和.求.3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.A 0.90B 0.95C 0.95D 0.94E 0.94求：（1）能听到立体声效果的概率； （2）听不到声音的概率.4.(1)求三直线，所围成三角形上的整点个数； (2)求方程组的整数解个数.5.已知，ABC是正三角形，且B、C在双曲线一支上.(1)求证B、C关于直线对称；(2)求ABC的周长.6.对于集合，称M为开集，当且仅当，使得.判断集合与是否为开集，并证明你的结论.2006清华大学自主招生数学试题1求最小正整数，使得为纯虚数，并求出2已知为非负数，求的最值3已知为等差数列，为等比数列，求的值4求由正整数组成的集合，使中的元素之和等于元素之积5随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数6上一点(非原点)，在处引切线交轴于，求7已知满足：对实数有，且，求证:恒为零(可用以下结论：若，为一常数，那么)2008北京大学自主招生数学试题1 求证：边长为1的正五边形对角线长为略解：三角形ABE三角形DAE则：2 已知六边形AC1BA1CB1中AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,A+B+C=A1+B1+C1 求证ABC 面积是六边形AC1BA1CB1的一半略解：如图得证3 已知4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支所有球队总得分为南方球队总得分为北方球队总得分为南方球队内部比赛总得分北方球队内部比赛总得分解得：因为为整数x=6或x=8当x=6时所有球队总得分为=210南方球队总得分为=189北方球队总得分为=21南方球队内部比赛总得分=105北方球队内部比赛总得分=15北方胜南方得分=21-15=6北方球队最高得分=5+6=11因为1115=165189所以南方球队中至少有一支得分超过11分冠军在南方球队中当x=8时所有球队总得分为=300南方球队总得分为=270北方球队总得分为=30南方球队内部比赛总得分=136北方球队内部比赛总得分=28北方胜南方得分=30-28=2北方球队最高得分=7+2=9因为917=153270所以南方球队中至少有一支得分超过9分冠军在南方球队中综上所述，冠军是一支南方球队5 （理科）O-XYZ坐标系内 xoy平面系内绕y轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2 求C上未被照到的长度