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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)1已知函数.在下列区间中,包含零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2在平面直角坐标系中,设角的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距离是,规定:比值叫做的正余混弦,记作.若,则()A.B.C.D.3设是两个单位向量,且,那么它们的夹角等于()A.B.C.D.4函数,则函数的图象大致是()A.B.C.D.5设,则A.B.C.D.6函数是上的偶函数,则的值是A.B.C.D.7下列说法正确的有()两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;经过球面上不同的两点只能作一个大圆;各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;圆锥的轴截面是等腰三角形.A.1个B.2个C.3个D.4个8化简的结果是()A.B.1C.D.29已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长,则这段弧所对的圆周角的弧度数为( )A.B.C.D.10函数的零点所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+)11函数的增区间是A.B.C.D.12已知函数的图像如图所示,则A.B.C.D.二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.) 13已知,且,写出一个满足条件的的值:_.14已知函数(且).给出下列四个结论:存在实数a,使得有最小值;对任意实数a(且),都不是R上的减函数;存在实数a,使得的值域为R;若,则存在,使得.其中所有正确结论的序号是_.15若是定义在R上的奇函数,当时,(为常数),则当时,_.16已知函数(且)过定点P,且P点在幂函数的图象上,则的值为_三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)17一个半径为2米的水轮如图所示,其圆心O距离水面1米,已知水轮按逆时针匀速转动,每4秒转一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点)开始计算时间(1)以过点O且与水面垂直的直线为y轴,过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系,试将点P距离水面的高度h(单位:米)表示为时间t(单位:秒)的函数;(2)在水轮转动的任意一圈内,有多长时间点P距水面的高度超过2米?18已知函数是偶函数(1)求实数的值;(2)若函数的最小值为,求实数的值;(3)当为何值时,讨论关于的方程的根的个数19若两个函数和对任意,都有,则称函数和在上是疏远的(1)已知命题“函数和在上是疏远的”,试判断该命题的真假若该命题为真命题,请予以证明;若为假命题,请举反例;(2)若函数和在上是疏远的,求整数a的取值范围20已知直线(1)求直线的斜率;(2)若直线m与平行,且过点,求m方程.21已知函数(1)求方程在上的解;(2)求证:对任意的,方程都有解22(1)化简(2)求值.参考答案一、选择题(本大题共12 小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)1、C【解析】根据导数求出函数在区间上单调性,然后判断零点区间.【详解】解:根据题意可知和 在上是单调递减函数在上单调递减而有函数的零点定理可知,零点的区间为.故选:C2、D【解析】由可得出,根据题意得出,结合可得出关于和的方程组,解出这两个量,然后利用商数关系可求出的值.【详解】,则,由正余混弦的定义可得.则有,解得,因此,.故选:D.【点睛】本题考查三角函数的新定义,涉及同角三角函数基本关系的应用,根据题意建立方程组求解和的值是解题的关键,考查运算求解能力,属于基础题.3、C【解析】由条件两边平方可得,代入夹角公式即可得到结果.【详解】由,可得:,又是两个单位向量,它们的夹角等于故选C【点睛】本题考查单位向量的概念,向量数量积的运算及其计算公式,向量夹角余弦的计算公式,以及已知三角函数求角,清楚向量夹角的范围4、C【解析】先判断出为偶函数,排除A; 又,排除D;利用单调性判断B、C.【详解】因为函数,所以函数.所以定义域为R.因为,所以为偶函数.排除A;又,排除D;因为在为增函数,在为增函数,所以在为增函数.因为为偶函数,图像关于y轴对称,所以在为减函数.故B错误,C正确.故选:C5、D【解析】利用对数运算法则即可得出【详解】,则.故选D.【点睛】本题考查了对数的运算法则,考查了计算能力,属于基础题6、C【解析】分析:由奇偶性可得,化为,从而可得结果.详解:是上的偶函数,则,即,即成立,又,故选C点睛:本题主要考查函数的奇偶性,属于中档题.已知函数的奇偶性求参数,主要方法有两个,一是利用:(1)奇函数由 恒成立求解,(2)偶函数由 恒成立求解;二是利用特殊值:奇函数一般由 求解,偶函数一般由求解,用特殊法求解参数后,一定要注意验证奇偶性.7、A【解析】根据棱台、球、正方体、圆锥的几何性质,分析判断,即可得答案.【详解】中若两个底面平行且相似,其余各面都是梯形,并不能保证侧棱延长线会交于一点,所以不正确;中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点,则过此两点的大圆有无数个,所以不正确;中底面不一定是正方形,所以不正确;中圆锥的母线长相等,所以轴截面是等腰三角形,所以是正确的.故选:A8、B【解析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可.【详解】原式.故选:B9、C【解析】求出圆内接正方形边长(用半径表示),然后由弧度制下角的定义可得【详解】设此圆的半径为,则正方形的边长为,设这段弧所对的圆周角的弧度数为,则,解得,故选:C.【点睛】本题考查弧度制下角的定义,即圆心角等于所对弧长除以半径本题属于简单题10、B【解析】计算出,并判断符号,由零点存在性定理可得答案.【详解】因为,所以根据零点存在性定理可知函数的零点所在区间是,故选:B【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间,解题方法是计算区间端点的函数值并判断符号,如果异号,说明区间内由零点,属于基础题.11、A12、B【解析】本题首先可以通过图像得出函数的周期,然后通过函数周期得出的值,再然后通过函数过点求出的值,最后将带入函数解析式即可得出结果【详解】因为由图像可知,解得,所以,因为由图像可知函数过点,所以,解得,取,所以,故选B【点睛】本题考查了三角函数的相关性质,主要考查了三角函数图像的相关性质,考查了三角函数的周期性的求法,考查计算能力,考查数形结合思想,是中档题二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.) 13、0(答案不唯一)【解析】利用特殊角的三角函数值求解的值.【详解】因为,所以,则,或,同时满足即可.故答案为:014、【解析】通过举反例判断.,利用分段函数的单调性判断,求出关于y轴的对称函数为,利用与y的图像在上有交点判断.【详解】当时,当时,所以有最小值0,正确;若是R上的减函数,则,无解,所以正确;当时,单减,且当时,值域为,而此时单增,最大值为,所以函数值域不为R;当时,单增,单增,若的值域为R,则,所以,与矛盾;所以不存在实数a,使得的值域为R;由可知,当时,函数值域不为R;当时,单减,最小值为,单增,且,所以函数值域不为R,综上错误;又关于轴的对称函数为,若,则,但指数函数的增长速度快于函数的增长速度,所以必存在,使得,即成立,所以正确.故答案为:15、【解析】根据得到,再取时,根据函数奇偶性得到表达式.【详解】是定义在R上的奇函数,则,故,时,则.故答案为:.16、9【解析】由指数函数的性质易得函数过定点,再由幂函数过该定点求解析式,进而可求.【详解】由知:函数过定点,若,则,即,故.故答案为:9.三、解答题(本大题共6个小题,共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)17、(1);(2)秒【解析】(1)设,根据题意求得、的值,以及函数的最小正周期,可求得的值,根据的大小可得出的值,由此可得出关于的函数解析式;(2)由得出,令,求得的取值范围,进而可解不等式,可得出的取值范围,进而得解.【详解】解:(1)如图所示,标出点M与点N,设,根据题意可知,所以,根据函数的物理意义可知:,又因为函数的最小正周期为,所以,所以可得:(2)根据题意可知,即,当水轮转动一圈时,可得:,所以此时,解得:,又因为(秒),即水轮转动任意一圈内,有秒的时间点P距水面的高度超过2米18、(1)(2)(3)当时,方程有一个根;当时,方程没有根;当或或时,方程有两个根;当时,方程有三个根;当时,方程有四个根【解析】(1)利用偶函数满足,求出的值;(2)对函数变形后利用二次函数的最值求的值;(3)定义法得到的单调性,方程通过换元后得到的根的情况,通过分类讨论最终求出结果.【小问1详解】由题意得:,即,所以,其中,解得:【小问2详解】,故函数的最小值为,令,故的最小值为,等价于,解得:或,无解综上:【小问3详解】由,令,有由,有,可得,可知函数为增函数,故当时,函数单调递增,由函数为偶函数,可知函数的增区间为,减区间为,令,有,方程(记为方程)可化为,整理为:(记为方程),当时,有,此时方程无解,可得方程无解;当时,时,方程的解为,可得方程仅有一个解为;时,方程的解为,可得方程有两个解;当时,可得或,1当方程有零根时,此时方程还有一根为,可得此时方程有三个解;2当方程有两负根时,可得,不可能;3当方程有两正根时,可得:,又由,可得,此时方程有四个根;4当方程有一正根一负根时,可得:或,又由,可得或,此时方程有两个根,由上知:当时,方程有一个根;当时,方程没有根;当或或时,方程有两个根;当时,方程有三个根;当时,方程有四个根【点睛】对于复合函数根的个数问题,要用换元法来求解,通常方法会用到根的判别式,导函数,基本不等式等.19、(1)该命题为假命题,反例为:当时,.(2).【解析】(1)利用“疏远函数”的定义直接判断即可,以或举例即可;(2)由函数的定义域可确定实数,构造函数,可证当时,恒成立,即函数和在
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