定积分知识结构内容要点 一、定积分的概念与性质1.定积分的定义jbf(x)dx = lim工f( )Ax a.i id 0 i=12.定积分的性质中值定理：设f O在L, b上连续，则存在gwL, b使得Jbf(x)dx = f )b-a)a定义：我们称亠Jbf (x为f (x)在a,b上的积分平均值。b - a a二、基本定理1. 变上限积分的函数：设F(x)=宀)f (t)dt，则F昭(x)22112. 牛顿一莱布尼兹公式：设f G)在la,b上可积，F(x)为f (x)在la,b上任意一个原函数,则有 Jb f (x Lx = F (x 丿a= F(b)- F(a)三、定积分的换元积分法和分部积分法1.Jbf (x )dx = J 卩 f pObOdt(x=(t)有连续导数，单调，申O=a申(卩)=b )2. Jbu(xLr(x)dx = u(x)v(x- Jb v(xOdxaa a四、广义积分定积分Jbfdx的积分区间la,b是有限区间，又f (x)在la,订上是有界的，如果积分区间a推广到无穷区间或f G)推广到无界函数就是两种不同类型的广义积分。1无穷区间上的广义积分定义：J+8 f (x)dx 二 lim Jb f (xab+o a若极限存在，则称广义积分严f (xbx是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在,a则称广义积分J+a f (x hr是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。aJb f (r )dx 二 lim Jbf (r )dx-aa -a a同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。卜 f (r )dx 二 Jc f (r 加 + 卜 f (r )dx 二 lim Jc f (r )dx + lim Jbf (r )dx-a-aca -a ab +a cJ v rdr， r = 0时无意义，称r = 0为瑕点 02.无界函数的广义积分(瑕积分)(1)设f (X)在L,b)内连续，且lim f (x)=a，则称b为f (x)的瑕点。xb-定义 Jb f (r )dx = lim Jb-w f (r )dxaw 0+ a若极限存在，则称广义积分Jbf Cx Xdx收敛，且它的值就是极限值，若极限不存在，则称广a义积分A f (x )dx发散。发散的广义积分没有值的概念。a设f O在(a, b内连续，且lim f da，则称a为f O的瑕点xa+定义 Jbf (x)dx = lim Jb f (x)dxaw0+ a+w若极限存在，则称广义积分Jbf (x、dx收敛，且它的值就是极限值，a若极限不存在，则称广义积分Jbf (x)dx发散，它没有值。a(3 )设f (x)在L, c)和(c,b皆连续，且lim f (x，则称C为f (x)的瑕点定义xcJbf (x)dx = Jcf (x)dx + Jbf (x)dx = lim Jc-w f (x)dx + lim Jb f (x加e2 0+ c+e2aacw 0+ a题型解析dx题型 1、定积分估值问题J1o 4 一 2 x 一 x2 + x3例:(1) J3 x arctan xdx3题型 2、定积分、不等式证明问题例：(1) - J 2 红 2)20 1 xn6题型 3、变限积分求导例 1 求导问题:(1)羊Jbf (x)dx ,羊Jxf (t)dt,羊 Jxf (x)dx , d (Jxe：dt),斗(Jx2?：dt) dx adx adx adx adx a(Jbtf ( x-) d)dx ad(2) Jx (x t)f (t)dt ； dx 0dJx(x- t) f(t) dt dx 0、d r(3)求J xcos(x -1)2dx ；dx 04)设 F (x) = Jx 旦 + J 1rd (x 0)，求 F (x) o求极限 lim1 Jx(1+12)efi-x2dtxTg x 0(3) lim 1Jsm2ln(1+1)dt,xt0 V 1 + x4 一 1 0例 2 与之相关的其他问题(1)求 a, b, c 使 lim- ax 一 Sin x Jc (c H 0)；x0xdtb(2)F(x)= 亠 Jxf (t)dt，f (x)连续，求 limF(x)x 一 a axTa 求I(x) = Jxlntdt在e,e2上的最大值e 12 2t + 1d 2 ydx2(4 )设 x = J0f (U2)dU，f(u)二阶可导，且 f (u)丰 0，求: y =0f (t2)2(5) 设 f(x)=J1 f(tx)dt 一 xsin x 求 f(x)0若f (x)为连续正值函数，则当x 0时,J xtf (t )dt函数F (x) = 0 单调增加J x f (t )dt0题型 4、分段函数定积分计算例 1 计算(1) Je ln I xldx ；1e(2)求 f (x)=x1在区间0， 2上平均值(3) J b| x |dx (4) 设 f (x) = 00x1x22 一 x 1 x 2F(x)=Jx f(t)dt00x2题型 5、定积分的计算,换元法例1计算题(1) J1 忌dx;dx J16-1 x 一 1例2设f (x)在(-8, +8)上连续,F(x) = Jxf (t)dt ,求证：(1)若f (x)为偶函数，则F(x)为奇函数，若f(x) 为奇函数，则 F(x) 为偶函数例 3 设 仏)在(，)上连续，F(x) x(x 2t)f(t)dt,0偶函数； 若f(x)单调不增，则F(x)单调不减。题型6、 部分区间上换元求证：(1)若f (x)为偶函数，则F(x)也是例1试证：(1)若 f(x)在a,a上连续且为偶函数，则例2例3若f (x)在a, a上连续且为奇函数，则更一般地a f(x)dxaf(x) f(x)dxa0设f(x)是以l为周期的连续函数，则a lf(x)dxaf(x)dx 2 af(x)dx:0f(x)dx 01 f (x)dx，即 0设f(x)是以L为周期的连续函数，n为自然数，证明：f (x)dx的值与a无关.例4设f (X在0,1上连续，证明:2 f (cosc)dx0a nL f(x)dx 02 f (cosxl)dx0n L f(x)dx 0例5 证明sinx2 dx0xsinx2 dx0xsinx dx0xsinx2 dxx对第二项令x题型7 对称性.例1 计算(1)x)2dx2) 11x 2)arctanxdx3)2x2 xcosx,1 dx1 1.1 X2.dx1 sinx4题型8、分部积分法厉 11n(1 x)例1 01石例2计算4dxx)2(2) 1 x arcsinx dx0例 2 f(x)sintx dt计算0tf(x)dx例3 f(2);，f(2)0，2 f(x)dx01，求：1x2 f0(2x)dx例4 f(x)在0,a连续,f(0) 0，证明：| a f(x)dx|0片2，其中M2max I f0xa(x)。证：利用 a f (x)dx f (x)(x a)(a x)f(x)dxa(a x)f(x)dx0题型9、广义积分xlnx ,dx :(1 x2)2例1 (1)2)edx1 x.1 (lrx)2dx ； xC；2 dt0 1 tant94dx 0，求1 2x2 ax