电磁学课后习题答案第五章 静 电 场 5 9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 22041L r Q E -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为220421Lr r Q E += 若棒为无限长(即L )，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q Q d x /L ，它在点P 的电场强度为r r q e E 20d 41d =整个带电体在点P 的电场强度 =E E d接着针对具体问题来处理这个矢量积分.(1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同，=LE i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(A )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是=L y E E j j E d sin d 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度=L r q E 202d ，利用几何关系 r r x 统一积分变量，则 ()22002220412/12/14d 41L r Q L r L r L Q x r L x Q E L/-L/P -=+-=-=电场强度的方向沿x 轴.(2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为E r q E L d 4d sin 20= 利用几何关系 sin r /r ，22x r r += 统一积分变量，则 ()2203/222220412d 41L r r Q r x L xrQ E L/-L/+=+=当棒长L 时，若棒单位长度所带电荷为常量，则P 点电场强度r L r L Q r E l 02202 /41/21lim =+=此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同图(B ).这说明只要满足r 2/L 2 1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.5 14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析 方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即=S S d s E 方法2：作半径为R 的平面S 与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 =01d 0q S S E 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S 的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而-=S S S E S E d d 解1 由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有-=S S S E S E d d 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元d S 的方向，E R R E 22cos =-=解2 取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为()r E e e e E sin sin cos sin cos +=r R e S d d sin d 2=ER ER ER SS 2002222d sin d sin d d sin sin d =S E 5 17 设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为()()R r kr = 0R r 0k 为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E 与r 的函数关系. 分析 通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有2S 4d r E =S E 根据高斯定理=V d 1d 0S E ，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为r r q =d 4d 2，每个带电球壳在壳内激发的电场0d =E ，而在球壳外激发的电场r rq e E 204d d = 由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布()()()()R r r r R r= d R r 0 d 00E E E E解1 因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理=V d 1d 0S E 得球体内(0r R ) ()400202d 414r k r r kr r r E r = ()r kr r e E 024= 球体外(r R )()400202d 414r k r r kr r r E R = ()r kR r e E 024= 解2 将带电球分割成球壳，球壳带电r r r k V q =d 4d d 2由上述分析，球体内(0r R )()r r rkr r r r r k r e e E 0222004d 441= 球体外(r R )()r r Rr kR r r r r k r e e E 20222004d 441=5 20 一个内外半径分别为R 1 和R 2 的均匀带电球壳，总电荷为Q 1 ，球壳外同心罩一个半径为R 3 的均匀带电球面，球面带电荷为Q 2 .求电场分布.电场强度是否为离球心距离r 的连续函数？ 试分析. 分析 以球心O 为原点，球心至场点的距离r 为半径，作同心球面为高斯面.由于电荷呈球对称分布，电场强度也为球对称分布，高斯面上电场强度沿径矢方向，且大小相等.因而24d r E =S E .在确定高斯面内的电荷q 后，利用高斯定理=0/d q S E 即可求出电场强度的分布.解 取半径为r 的同心球面为高斯面，由上述分析=02/4q r Er R 1 ，该高斯面内无电荷，0=q ，故01=ER 1 r R 2 ，高斯面内电荷()31323131R R R r Q q -= 故 ()()231320313124r R R R r Q E -= R 2 r R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 ，故 20134r Q E =r R 3 ，高斯面内电荷为Q 1 Q 2 ，故 202144r Q Q E += 电场强度的方向均沿径矢方向，各区域的电场强度分布曲线如图(B )所示.在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r R 3 的带电球面两侧，电场强度的跃变量02302344R Q E E E =-= 这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的必然结果，且具有普遍性.实际带电球面应是有一定厚度的球壳，壳层内外的电场强度也是连续变化的，本题中带电球壳内外的电场，在球壳的厚度变小时，E 的变化就变陡，最后当厚度趋于零时，E 的变化成为一跃变.5 21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1 和R 2 R 1 )，单位长度上的电荷为.求离轴线为r 处的电场强度：(1) r R 1 ，(2) R 1 r R 2 ，(3) r R 2 . 分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且=rL E d 2S E ，求出不同半径高斯面内的电荷q .即可解得各区域电场的分布.解 作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理 =0/2q rL E r R 1 ，0=q01=E 在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变R 1 r R 2 ，L q =rE 022= r R 2， 0=q03=E在带电面附近，电场强度大小不连续，电场强度有一跃变 0022rL L r E =这与5 20 题分析讨论的结果一致. 5 22 如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 Q 3 Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功. 分析 由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W 应等于电场力作功W 的负值，即W W .求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为l E d 02=Q W 其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度.(2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有()0202V Q V V Q W =-=其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势).解1 由题意Q 1 所受的合力为零()024420312021=+dQ Q d Q Q 解得 Q Q Q 414132-=-=由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为 ()2/3220312y d Q E E E yy y +=+=将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为()dQ y y d Q Q Q W y 022/32200028d 241d =+-=-=l E 解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=，并由电势 的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势dQ d Q d Q V 003010244=+= 将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功dQ V Q W 02028=-= 比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.5 23 已知均匀带电长直线附近的电场强度近似为r re E 02= 为电荷线密度.(1)求在r r 1 和r r 2 两点间的电势差；(2)在点电荷的电场中，我们曾取r 处的电势为零，求均匀带电长直线附近的电势时，能否这样取？ 试说明.解 (1) 由于电场力作功与路径无关，若沿径向积分，则有12012ln 2d 21r r U r r =r E (2) 不能.严格地讲，电场强度r e rE 02=只适用于无限长的均匀带电直线，而此时电荷分布在无限空间，r 处的电势应与直线上的电势相等.5 27 两个同心球面的半径分别为R 1 和R 2 ，各自带有电荷Q 1 和Q 2 .求：(1) 各区域电势分布，并画出分布曲线；(2) 两球面间的电势差为多少？ 分析 通常可采用两种方法(1) 由于电荷