7.6 直线与圆的位置关系知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系.0，直线和圆相交.=0，直线和圆相切.0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR，直线和圆相交.d=R，直线和圆相切.dR，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.点击双基1.（2005年北京海淀区期末练习题）设m0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为A.相切 B.相交C.相切或相离 D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d=，圆半径为.dr=（m2+1）=（1）20，直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C2.圆x2y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长等于A. B. C.1 D.5解析：圆心到直线的距离为，半径为，弦长为2=.答案：A3.（2004年全国卷，4）圆x2+y24x=0在点P（1，）处的切线方程为A.x+y2=0 B.x+y4=0C.xy+4=0 D.xy+2=0解法一：x2+y24x=0 / y=kxk+x24x+（kxk+）2=0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得k=.y=（x1），即xy+2=0.解法二：点（1，）在圆x2+y24x=0上，点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.又圆心为（2，0），k=1.解得k=，切线方程为xy+2=0.答案：D4.（2004年上海，理8）圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，4）、B（0，2），则圆C的方程为_.解析：圆C与y轴交于A（0，4），B（0，2），由垂径定理得圆心在y=3这条直线上.又已知圆心在直线2xy7=0上，解得x=2，联立 y=3，2xy7=0. 圆心为（2，3），半径r=|AC|=.所求圆C的方程为（x2）2+（y+3）2=5.答案：（x2）2+（y+3）2=55.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是_.解析：利用数形结合.答案：1k1或k=典例剖析【例1】 已知圆x2+y2+x6y+m=0和直线x+2y3=0交于P、Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OPOQ，所以kOPkOQ=1，问题可解.解：将x=32y代入方程x2+y2+x6y+m=0，得5y220y+12+m=0.设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=.OPOQ，x1x2+y1y2=0.而x1=32y1，x2=32y2，x1x2=96（y1+y2）+4y1y2.m=3，此时0，圆心坐标为（，3），半径r=.评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.【例2】 求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.剖析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37 由圆心在直线xy4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0，再由圆心在直线xy4=0上，定出参数，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0.展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圆心为（，），代入方程xy4=0，得=7.故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2= .评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.特别提示 在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例3】 已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.得mR， 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论 求直线过定点，你还有别的办法吗？闯关训练夯实基础1.若圆（x3）2（y+5）2r2上有且只有两个点到直线4x3y=2的距离等于1，则半径r的范围是A.（4，6） B.4，6） C.（4，6 D.4，6解析：数形结合法解.答案：A2.（2003年春季北京）已知直线ax+by+c=0（abc0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为a、b、c的三角形A.是锐角三角形 B.是直角三角形C.是钝角三角形 D.不存在解析：由题意得=1，即c2=a2+b2，由a、b、c构成的三角形为直角三角形. 答案：B3.（2005年春季北京，11）若圆x2+y2+mx=0与直线y=1相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为_.解析：圆方程配方得（x+）2+y2=，圆心为（，0）.由条件知0.又圆与直线y=1相切，则0（1）=，即m2=3，m=.答案：4.（2004年福建，13）直线x+2y=0被曲线x2+y26x2y15=0所截得的弦长等于_.解析：由x2+y26x2y15=0，得（x3）2+（y1）2=25.知圆心为（3，1），r=5.由点（3，1）到直线x+2y=0的距离d=.可得弦长为2，弦长为4.答案：45.自点A（3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2y24x4y70相切，求光线l所在直线的方程.解：圆（x2）2（y2）21关于x轴的对称方程是（x2）2（y2）21.设l方程为y3k（x3），由于对称圆心（2，2）到l距离为圆的半径1，从而可得k1，k2故所求l的方程是3x4y30或4x3y30.6.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系?分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=.P（x0，y0）在圆内，r，故直线和圆相离.培养能力7.方程ax2+ay24（a1）x+4y=0表示圆，求a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解：（1）a0时，方程为x2+（y+）2=，由于a22a+20恒成立，a0且aR时方程表示圆.（2）r2=4=42()2+，a=2时，rmin2=2.此时圆的方程为（x1）2+（y1）2=2.8.（文）求经过点A（2，4），且与直线l：x+3y26=0相切于（8，6）的圆的方程.解：设圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组3DE=36，2D+4EF=20，8D+6E+F=100. D=11，E=3，F=30.圆的方程为x2+y211x+3y30=0.（理）已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q（4，0）.（1）求线段PQ中点的轨迹方程；（2）设POQ的平分线交PQ于R，求R点的轨迹方程.解：（1）设PQ中点M（x，y），则P（2x4，2y），代入圆的方程得（x2）2+y2=1.（2）设R（x，y），由=，设P（m，n），则有m=，n=，代入x2+y2=4中，得（x）2+y2=（y0）.探究创新9.已知点P到两个定点M（1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程.解：设点P的坐标为（x，y），由题设有=，即=，整理得x2+y26x+1=0. 因为点N到PM的距离为1，|MN|=2，所以PMN=30，直线PM的斜率为.直线PM的方程为y=（x+1）. 将代入整理得x24x+1=0.解得x1=2+，x2=2.代入得点P的坐标为（2+，1+）或（2，1+）；（2+，1）或（2，1）.直线PN的方程为y=x1或y=x+1.思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.教师下载中心教学点睛1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.拓展题例【例1】 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过定点A（1，2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.解：将