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2014年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)一、选择题:本题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知复数z=i,是z的共轭复数,则=()A 1BiCiD12已知全集U=R,集合A=x|x2|1,B=x|y=,则AB=()A(1,2)B(2,3)C2,3)D(1,23已知向量的模为2,=(1,2),条件p:向量的坐标为(4,2),条件q:,则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4已知实数x、y满足不等式组,则z=xy的最小值为()A1BC3D35设奇函数f(x)=cos(x+)sin(x+)(0,|)的最小正周期为,则()A f(x)在(0,)上单调递减Bf(x)在(0,)上单调递增C f(x)在(,)上单调递减Df(x)在(,)上单调递增6按1,3,6,10,15,的规律给出2014个数,如图是计算这2014个数的和的程序框图,那么框图中判断框处可以填入()A i2014Bi2014Ci2014Di20147设f(x)=|lnx|,若函数g(x)=f(x)ax在区间(0,3上有三个零点,则实数a的取值范围是()A(0,)B(,e)C(0,D,)8如图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为()A 8B12C16D489若2014=2+2+2,其中a1,a2,an为两两不等的非负整数,设x=sinSn,y=cosSn,z=tanSn(其中Sn=),则x、y、z的大小关系是()A zyxBxzyCxyzDyzx10如图,正ABC的中心位于点G(0,1),A(0,2),动点P从A点出发沿ABC的边界按逆时针方向运动,设旋转的角度AGP=x(0x2),向量在=(1,0)方向的射影为y(O为坐标原点),则y关于x的函数y=f(x)的图象是()二、选做题:(请考生在下列两题中任选一题作题,若两题都做,则按所做的第一题评阅计分,共5分)【坐标系与参数方程选做题】11(1)曲线C1的参数方程为(为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin(+)=5设点P,Q分别在曲线C1和C2上运动,则|PQ|的最小值为()AB2C3D4(2)【不等式选做题】若关于x的不等式|x1|+xa无解,则实数a的取值范围是()A(,1)B(,1C(1,+)D1,+)三、填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分)12已知(sinx+3x2)dx=16,则实数a的值为_13已知x、y的取值如表所示,如果y与x线性相关,且线性回归方程为y=x+,则表中的a=_x234y5a614已知过双曲线=1(a0,b0)右焦点F的一条直线与该双曲线有且只有一个交点,且交点的横坐标为2a,则该双曲线的离心率为_15将数字1,1,2,2,3,3排成两行三列,则每行的数字互不相同,每列的数字也互不相同的概率为_四、解答题:本题共6小题,共75分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤16(12分)在ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2cosBcosC(1tanBtanC)=1(1)求角A的大小;(2)若a=2,ABC的面积为2,求b+c的值17(12分)甲、乙两位同学从A、B、C、D共n(n2,nN+)所高校中,任选两所参加自主招生考试(并且只能选两所高校),但同学甲特别喜欢A高校,他除选A高校外,再在余下的n1所中随机选1所;同学乙对n所高校没有偏爱,在n所高校中随机选2所若甲同学未选中D高校且乙选中D高校的概率为(1)求自主招生的高校数n;(2)记X为甲、乙两名同学中未参加D高校自主招生考试的人数,求X的分布列和数学期望18(12分)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形,AC,BD交于点O,A1O平面ABCD,A1A=BD=2,AC=2(1)证明:A1C平面BB1D1D;(2)求平面BC1D1与平面BB1D1D夹角的余弦值19(12分)已知等差数列an的公差d0,首项a1=3,且a1、a4、a13成等比数列,设数列an的前n项和为Sn(nN+)(1)求an和Sn;(2)若bn=,数列bn的前n项和Tn求证:3Tn2420(13分)如图所示,设F是抛物线E:x2=2py(p0)的焦点,过点F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2,且k1k2=1,l1与E相交于点A、B,l2与E相交于点C,D已知AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3(O为坐标原点)(1)求抛物线E的方程;(2)若+=64,求直线l1、l2的方程21(14分)已知函数f(x)=xe(其中aR,a0,e=2.718为自然对数的底数)(1)求f(x)在0,1上的最大值;(2)设函数g(x)=kx2+(k15)x15(k1,kN+),函数f(x)的导函数为f(x),若当x0时,2f(ax)g(x)恒成立,求最大的正整数k18(1)证明:底面ABCD是菱形,BDAC,A1O平面ABCD,A1OBD,A1OAC=O,BD平面A1AC,BDA1C,由已知A1A=2,AC=2,又AO=OC,A1OAC,A1A=A1C=2,A1A2+A1C2=AC2,A1CA1A,B1BA1A,A1CB1B,BDB1B=B,A1C平面BB1D1D;(2)解:以O为坐标原点,建立坐标系,则A(,0,0),B(0,1,0),C1(2,0,),=(2,1,),=(,1,0),设平面BC1D1的一个法向量为=(x,y,z),则,取=(1,3),由(1)A1C平面BB1D1D,平面BB1D1D的一个法向量为=(,0,),设平面BC1D1与平面BB1D1D夹角为,则cos=|cos|=|=19解:(1)an是等差数列,a1=3,公差为d,a4=3+3d,a13=3+12d,a1、a4、a13成等比数列,(3+3d)2=3(3+12d),整理得d22d=0,差d0,d=2,an=3+(n1)2=2n+1,=n(n+2)(2)Sn3an=n(n+2)3(2n+1)=n24n3=(n2)(n2),nN+,由Sn3an,得n,由Sn3an,得n2+42+5,当n4时,Tn=Sn=n(n+2);当n5时,Tn=T4+=24+()+()+()+()+()=24+()=24,Tn24,又数列Tn为递增数列,TnT1=3,3Tn2420解:(1)由题意,F(0,),AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=上,+=3,p=4抛物线E的方程是x2=8y;(2)设直线l1的方程y=k1x+2,代入抛物线方程,得y2(8k12+4)y+4=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=8k12+4,y1y2=4设C(x3,y3),D(x4,y4),同理可得y3+y4=+4,y3y4=4+=32+16(k12+)64,当且仅当k12=,即k1=1时取等号,直线l1、l2的方程为y=x+2或y=x+221解:(1)f(x)的定义域为R,f(x)=,当a0时,0,由f(x)0得xa,f(x)在(a,+)上单调递增,f(x)在0,1上单调递增,此时,f(x)max=f(1)=当a0时,0,由f(x)0得xa;由f(x)0得xa,f(x)在(,a)上单调递增,在(a,+)上单调递减;当0a1时,f(x)在0,a上单调递增,在a,1上单调递减,f(x)max=f(a)=ae1;当a1时,f(x)在0,1上单调递增,f(x)max=f(1)=综上所述,(2)由题设,g(x)=kx2+(k15)x15=(x+1)(kx15),f(x)=(1),x0,2f(ax)g(x)恒成立,即2(x+1)ex(x+1)(kx15)恒成立,当x0时,2exkx15恒成立,设h(x)=2exkx+15,则问题转化为:当x0时,h(x)0(*)恒成立,h(x)=2exk,h(x)在(0,ln)上单调递减,在(ln,+)上单调递增,故(*)式h(x)min=h(ln)=kkln+150,设(x)=xxln+15(x0),则(x)=1lnx1+ln2=lnx+ln2,故(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+)上单调递减,而(2e2)=2e22e2lne2+15=2e2+150,(15)=1515ln+15=15(lne2ln)0,故存在x0(2e2,15),使得(x0)=0,且当x2,x0)时(x)0,当x(x0,+)时(x)0,又(x)在(0,2)上单调递增,(1)=16ln0,142e215,故所求正整数k的最大值为14
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