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模型介绍【以下五个条件知一推四】 点C是的中点 ACBC OCAB PC平分APB (即)【模型解读】类型一 中点弧与相似点P是优弧AB上一动点,则12,PCB为公共角,子母型相似 【补充】PEPCPAPB类型二 中点弧与旋转【模型解读】点P是优弧AB上一动点,且点C是的中点邻边相等+对角互补 旋转相似模型,一般用来求圆中三条线段之间的数量关系. 由于对角互补,即,显然共线,且,通过导角不难得出相似.类型三 中点弧+内心可得等腰【模型讲解】外接圆+内心得等腰如图,圆O是ABC外接圆圆心,I是三角形ABC的内心,延长AI交圆O于D,证DIDCBD 【简证】145,43,25 123类型四 弧中点与垂径定理【模型解读】 知1推5 AD平分CAB D是的中点 DOCB例题精讲考点一: 中点弧与相似三角形的综合【例1】如图,A、B、C、D是O上的四个点,ABAC,AD交BC于点E,AE3,ED4,则AB的长为_变式训练【变式1-1】如图,四边形ABCD内接于O,对角线AC、BD交于点P,且ABAD,若AC7,AB3,则BCCD【变式1-2】如图,四边形ABCD内接于O,AB为直径,ADCD,过点D作DEAB于点E,连接AC交DE于点F若sinCAB,DF5,则BC的长为_考点二 中点弧与旋转的综合【例2】.在的内接四边形中,点为弧的中点,则的长是 变式训练【变式2-1】如图,已知是的弦,点是弧的中点,是弦上一动点,且不与、重合,的延长线交于点,连接、,过点作,垂足为,(1)求证:是的切线;(2)若,求的长;(3)当点在弦上运动时,的值是否发生变化?如果变化,请写出其变化范围;如果不变,请求出其值 考点三:中点弧+内心可得等腰三角形【例3】如图,已知O是ABC的外接圆,点I是ABC的内心,延长AI交BC于点E,交O于点D,连接BD、DC、BI求证:DBDCDI【变式3-1】如图,点I是ABC的内心,BI的延长线与ABC的外接圆O交于点D,与AC交于点E,延长CD、BA相交于点F,ADF的平分线交AF于点G(1)求证:DGCA;(2)求证:ADID;(3)若DE4,BE5,求BI的长【变式3-2】如图1,在ABC中,ABAC,O是ABC的外接圆,过点C作BCDACB交O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CFAC,连接AF(1)求证:EDEC;(2)求证:AF是O的切线;(3)如图2,若点G是ACD的内心,BCBE25,求BG的长考点四: 弧中点与垂径定理【例4】如图,为的直径,为圆上的两点,弦,相交于点(1)求证:;(2)若,求的半径变式训练【变式4-1】如图,AB是O的直径,点C为的中点,CF为O的弦,且CFAB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF(1)求证:BFGCDG;(2)若ADBE4,求BF的长【变式4-2】如图,AB是O的直径,点E为弧AC的中点,AC、BE交于点D,过A的切线交BE的延长线于F(1)求证:ADAF;(2)若,求tanODA的值 考点五 弧中点与垂径模型(三等弧模型)【例5】.如图,是的直径,点为的中点,为的弦,且,垂足为,连接交于点,连接,(1)求证:;(2)若,求的长 1如图,在O中AB为直径,C为弧AB的中点,EFAB,连接AC交EF于点D,若已知DF2DE,则CD:AD的值为()A1:3B1:2C1:2D1:42如图,已知点A是以MN为直径的半圆上一个三等分点,点B是的中点,点P是半径ON上的点若O的半径为1,则AP+BP的最小值为()A2BCD13在O的内接四边形ABCD中,AB6,AD10,BAD60,点C为弧BD的中点,则AC的长是4如图,BAC的平分线交ABC的外接圆于点D,ABC的平分线交AD于点E(1)求证:DEDB;(2)若BAC90,BD4,求ABC外接圆的半径5如图,AB是O的直径,AC为弦,D是的中点,过点D作EFAC,交AC的延长线于E,交AB的延长线于F(1)求证:EF是O的切线;(2)若sinF,AE4,求O的半径和AC的长6如图,已知AC,BD为O的两条直径,连接AB,BC,OEAB于点E,点F是半径OC的中点,连接EF(1)设O的半径为1,若BAC30,求线段EF的长(2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P,求证:PEPF若DFEF,求BAC的度数7如图,ABC内接于O,AB是O的直径,C是中点,弦CEAB于点H,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q,连接BD(1)求证:P是线段AQ的中点;(2)若O的半径为5,D是的中点,求弦CE的长8如图,已知AB是O的弦,点C是弧AB的中点,D是弦AB上一动点,且不与A、B重合,CD的延长线交于O点E,连接AE、BE,过点A作AFBC,垂足为F,ABC30(1)求证:AF是O的切线;(2)若BC6,CD3,求DE的长(3)当点D在弦AB上运动时,的值是否发生变化?如果变化,请写出其变化范围;如果不变,请求出其值9已知ABC内接于O,BAC的平分线交O于点D,连接DB,DC(1)如图,当BAC120时,请直接写出线段AB,AC,AD之间满足的等量关系式;(2)如图,当BAC90时,试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系,并证明你的结论;(3)如图,若BCm,BDn,求的值(用含m,n的式子表示)10如图,已知AB是O的直径,点C在O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,ACPC,COB2PCB(1)求证:PC是O的切线;(2)求证:BCAB;(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB8,求MNMC的值11如图,已知O的半径为2,AB为直径,CD为弦AB与CD交于点M,将沿CD翻折后,点A与圆心O重合,延长OA至P,使APOA,连接PC(1)求CD的长;(2)求证:PC是O的切线;(3)点G为的中点,在PC延长线上有一动点Q,连接QG交AB于点E交于点F(F与B、C不重合)问GEGF是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,请说明理由12如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A(,0),B(3,0),以AB为直径的G交y轴于C、D两点(1)填空:请直接写出G的半径r、圆心G的坐标:r ;G( , ); (2)如图2,直线yx+5与x,y轴分别交于F,E两点,且经过圆上一点T(2,m),求证:直线EF是G的切线(3)在(2)的条件下,如图3,点M是G优弧上的一个动点(不包括A、T两点),连接AT、CM、TM,CM交AT于点N试问,是否存在一个常数k,始终满足CNCMk?如果存在,求出k的值,如果不存在,请说明理由13已知:如图,抛物线yx2x+m与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,ACB90,(1)求m的值及抛物线顶点坐标;(2)过A、B、C的三点的M交y轴于另一点D,连接DM并延长交M于点E,过E点的M的切线分别交x轴、y轴于点F、G,求直线FG的解析式;(3)在条件(2)下,设P为上的动点(P不与C、D重合),连接PA交y轴于点H,问是否存在一个常数k,始终满足AHAPk?如果存在,请写出求解过程;如果不存在,请说明理由
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