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平行线拐点之猪蹄、锯齿、铅笔模型大 招模型介绍模型一:猪蹄与锯齿模型【模型结论】如图,直线MANB,则:APBA+B;A+B+P2P1+P3;A+B+P2+P2nP1+P3+P5+P2n+1 【证明】:(1)APBA+B这个结论正确,理由如下如图1,过点P作PQAM,PQAM,AMBN,PQAMBN,AAPQ,BBPQ,A+BAPQ+BPQAPB,即:APBA+B(2)根据(1)中结论可得,A+B+P2P1+P3,故答案为:A+B+P2P1+P3,(3)由(2)的规律得,A+B+P2+P2nP1+P3+P5+P2n+1故答案为:A+B+P2+P2nP1+P3+P5+P2n+1【模型辨析】注意:拐角为左右依次排列 若出现不是依次排列的,应进行拆分模型二:铅笔模型【模型结论】如图1:ABCD,则1+2180;如图2:ABCD,则1+2+3360;如图3:ABCD,则1+2+3+4540;如图4:ABCD,则1+2+n(n1)180。 【证明】在图1中,ABCD,1+2180;在图2中,过E作AB的平行线EF,ABCD,EFCD,1+AEF180,3+CEF180,1+2+3360;在图3中,过E作AB的平行线EN,过点F作AB的平行线FM,ABCD,ENCDFM,1+AFM180,MFE+FEN180,NEC+4180,1+2+3540;在图4中,过各角的顶点依次作AB的平行线,根据两直线平行,同旁内角互补以及上述规律可得1+2+3+n(n1)180【模型辨析】注意拐角朝同一方向 若出现拐角不朝同一方向的,应进行拆分.例题精讲考点一:猪蹄模型【例1】如图,直线ABCD,C44,E为直角,则1等于() A132B134C136D138变式训练【变式1-1】如图,BCD90,ABDE,则与一定满足的等式是() A+180B+90C3D90【变式1-2】如图,ABCD,ABNNBM,CDNMDN,M160,则N 【变式1-3】如图,ABCD,M在AB上,N在CD上,求1+2+3+4 考点二:锯齿模型【例2】若ABCD,CDFCDE,ABFABE,则E:F 变式训练【变式2-1】如图,直线ABCD,EFA30,FGH90,HMN30,CNP40,则GHM的大小是() A20B30C40D50【变式2-2】如图,已知ABCD,CE,BE的交点为E,现作如下操作:第一次操作,分别作ABE和DCE的平分线,交点为E1;第二次操作,分别作ABE1和DCE1的平分线,交点为E2;第三次操作,分别作ABE2和DCE2的平分线,交点为E3第n次操作,分别作ABEn1和DCEn1的平分线,交点为En如图,若Enb,则BEC的度数是 考点三:铅笔头模型【例3】.已知ABCD,试解决下列问题:(1)如图1所示,1+2 (2)如图2所示,1+2+3等于多少度?请说明理由(3)如图3所示,1+2+3+4 (4)如图4所示,试探究1+2+3+4+n 变式训练【变式3-1】如图所示,l1l2,1105,2140,则3的度数为()A55B60C65D70【变式3-2】如图,一环湖公路的AB段为东西方向,经过四次拐弯后,又变成了东西方向的FE段,则B+C+D+E的度数是 【变式3-3】如图,两直线AB与CD平行,则1+2+3+4+5+6 实战演练1如图,已知ABCD,A140,E120,则C的度数是() A80B100C120D1402如图,ABED,A+E,B+C+D,则与的数量关系是() A23B2C25D33如图,若ABEF,用含、的式子表示x,应为() A+B+C180+D180+4如图1,ABCD,则A+E+C180;如图2,ABCD,则PAC;如图3,ABCD,则EA+1;如图4,直线ABCDEF,点O在直线EF上,则+180以上结论正确的个数是()A1个B2个C3个D4个5.如图,已知ABDE,A40,ACD100,则D的度数是 6如图,直线mn,ABBC,135,262,则BCD的度数为 7如图,若直线l1l2,130,则2的度数为 8如图,若直线ab,那么x 度9如图,已知ABCD,EFAB于点E,AEHFGH20,H50,则EFG的度数是 10如图,ABCD,ABFABE,CDFCDE,则E:F 11(1)如图1,AMCN,求证:MAB+ABC+BCN360;MAE+AEF+EFC+FCN540;(2)如图2,若平行线AM与CN间有n个点,根据(1)中的结论写出你的猜想并证明12如图,ABCD,ABE120(1)如图,写出BED与D的数量关系,并证明你的结论;(2)如图,DEF2BEF,CDFCDE,EF与DF交于点F,求EFD的度数;(3)如图,过B作BGAB于G点,CDE4GDE,求的值13如图1,点A是直线HD上一点,C是直线GE上一点,B是直线HD、GE之间的一点DAB+ABC+BCE360(1)求证:ADCE;(2)如图2,作BCFBCG,CF与BAH的角平分线交于点F,若2BF90,求BAH的度数;(3)如图3,在(2)的条件下,若点P是线段AB上一点(不同于A点),Q是GE上任意一点,QR平分PQG,PMQR,PN平分APQ,求NPM的度数14.(1)问题情境:如图1,ABCD,PAB120,PCD130,求APC的度数小辰的思路是:如图2,过点P作PEAB,通过平行线的性质,可求得APC的度数请写出具体求解过程(2)问题迁移:如图3,ADBC,点P在射线OM上运动,当点P在A、B两点之间运动时,设CPD,ADP,BCP,问:、之间有何数量关系?请说明理由在的条件下,如果点P不在A、B两点之间运动时(点P与点A、B、O三点不重合),请你直接写出、间的数量关系
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