模型介绍一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型如图，若1、2、3都为直角，则有ACPBPD类型二：一线三锐角与一线三钝角模型如图，若1、2、3都为锐角，则有ACPBPD证明：DPB1803CPA，C1801CPA，而13CDPB，12， ACPBPD如图，若1、2、3都为钝角，则有ACPBPD（证明同锐角）R【解题关键】构造相似或全等三角形.例题精讲考点一：一线三等角直角模型【例1】.如图，四边形ABCD中，ABCACD90，ACCD，BC4cm，则BCD的面积为cm2变式训练【变式1-1】如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米，则CDE的面积等于平方厘米 【变式1-2】如图，一块含45的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC12，则AB的长为 【变式1-3】如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（2，1），点C的纵坐标是4，则B，C两点的坐标分别是（）A（，3），（，4）B（，3），（，4）C（，），（，4）D（，），（，4）【变式1-4】如图，在平面直角坐标系中，OAAB，OAB90，反比例函数y（x0）的图象经过A，B两点若点A的坐标为（n，1），则k的值为（） ABCD考点二：一线三等角锐角或钝角模型【例2】如图，已知ABC和ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB9，BD3，则CF等于（） A1B2C3D4变式训练【变式2-1】如图，在ABC中，ABAC，ABBC，点D在边BC上，CD3BD，点E、F在线段AD上，12BAC若ABC的面积为12，则ACF与BDE的面积之和为 【变式2-2】如图，在等边ABC中，AC9，点O在AC上，且AO3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果POPD，那么AP的长是 【变式2-3】如图1，在正方形ABCD中，E是边BC的中点，F是CD上一点，已知AEF90（1）求证：；（2）平行四边形ABCD中，E是边BC上一点，F是边CD上一点，AFEADC，AEF90如图2，若AFE45，求的值 实战演练1如图，ACB90，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别是点D、E，AD7cm，BE3cm，则DE的长是（）A3cmB3.5cmC4cmD4.5cm2如图，在矩形ABCD中，AB4，E为CD边上一点，将BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若，则CE（）ABCD3.如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则的值是（）A B. C D. 4如图，在ABC中，C90，B30，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且DEF为等边三角形，若ADCD则的值为（） ABCD5如图，在等边三角形ABC中，AB4，P是边AB上一点，BP，D是边BC上一点（点D不与端点重合），作PDQ60，DQ交边AC于点Q若CQa，满足条件的点D有且只有一个，则a的值为（）ABC2D36BDE和FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内若求五边形DECHF的面积，则只需知道（）AABC的面积BBFG的面积C四边形AFGH的周长DBDE的面积7如图，在正方形ABCD中，AB4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF1，将点E绕着点F顺时针旋转90得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（） A2B2C3D8设O为坐标原点，点 A、B为抛物线y4x2上的两个动点，且OAOB连接点 A、B，过O作OCAB于点C，则点C到y轴距离的最大值为（）ABCD19如图，在ABC中，AC3，BC4，C90，过CB的中点D作DEAD，交AB于点E，则EB的长为 10如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，2），点P是直线yx1上一点，且ABP45，则点P的坐标为 11已知反比例函数y，经过点E（3，4），现请你在反比例函数y上找出一点P，使POE45，则此点P的坐标为 12如图，四边形ABCD中，BC90，点E是BC边上一点，ADE是等边三角形，若， 13如图，在ABC中，ABAC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDAAECBAC，若DE10，BD3，求CE的长14如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，ADDEDF（1）若AED30，则ADB （2）求证：BEDCDF（3）点D在BC边上从B至C的运动过程中，BED周长变化规律为A不变 B一直变小C先变大后变小 D先变小后变大15如图，在ABC中，已知ABAC5，BC6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点（1）求证：ABEECM；（2）当线段BE为何值时，线段AM最短，最短是多少？（3）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由16如图，正方形ABCD中，点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCDA匀速运动，同时动点Q以相同的速度在x轴正半轴上运动，当点P到达A点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）当P点在边AB上运动时点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中，设OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由17在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+（1m）xm（m0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（1）求线段AB的长（用含m的代数式表示）；（2）当2m4时，抛物线过点（a，b）和（a+5，b），求a的取值范围；（3）如图，在y轴上有一点P（0，3），当APBABC时，求m的值