资源预览内容
第1页 / 共35页
第2页 / 共35页
第3页 / 共35页
第4页 / 共35页
第5页 / 共35页
第6页 / 共35页
第7页 / 共35页
第8页 / 共35页
第9页 / 共35页
第10页 / 共35页
亲,该文档总共35页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
模型介绍定角定高模型:如图,直线BC外一点A,A到直线BC距离为定值(定高),BAC为定角,则AD有最小值,即ABC的面积有最小值. 定角夹定高也叫探照灯模型.R模型剖析如何确定ABC面积的最小值呢?首先我们连接OA,OB,OC. 过O点作OHBC于H点.(如右上图)显然OA+OHAD,当且仅当A,O,D三点共线时取“=”.由于BAC的大小是一个定值,而且它是圆O的圆周角,因此它所对的圆心角AOB的度数,也是一个定值.因此OH和圆O的半径有一个固定关系,所以OA+OH也和圆O的半径,有一个固定的等量关系.再根据我们刚才说的OA+OHAD,就可以求得圆O半径的最小值.简证:OA+OHAD,四边形OEDH为矩形,OH=ED,在RtAOE中,AOAE,AO+OH=AO+EDAE+ED=ADR步骤指引1.作定角定高三角形外接圆,并设外接圆半径为r,用r表示圆心到底边距离及底边长;2.根据“半径+弦心距定高”,求r的取值范围;3.用r表示定角定高三角形面积,用r取值范围求面积最小值.例题精讲【例1】如图,在ABC中,BAC60,ADBC于点D,且AD4,则ABC面积的最小值为 解:作ABC的外接圆O,连接OA,OB,OC,过点O作OEBC于点E,BAC60,BOC120,OBOC,OBCOCB30,设O的半径为r,则OEOBr,BEOBr,BCr,OA+OEAD,r+r4,解得:r,BC,ABC的面积的最小值为,故答案为:变式训练【变式1-1】如图,在矩形ABCD中,AB2,BC12,点E,F均在AD上,且ABE+FCD90,则四边形BCFE面积的最大值为20解:将DCF向左平移,使DC与AB重合,点F的对应点为点G,ABE+FCD90,GBE90,作BGE的外接圆O,连接OB,则OBAB,当点O与点A重合时,OB取得最小值,最小值为2,GE的最小值为4,GBE的面积最小GEAB424,四边形BCFE矩形ABCD的面积ABE的面积CDF的面积矩形ABCD的面积GBE的面积,当GBE的面积最小时,四边形BCFE的面积有最大值,四边形BCFE最大212420,四边形BCFE面积的最大值为20故答案为:20【变式1-2】如图,在四边形ABCD中,ABADCD4,ADBC,B60,点E、F分别为边BC、CD上的两个动点,且EAF60,则AEF的面积的最小值是4解:将ADF绕点A顺时针旋转120到ABM,由旋转得:BMDF,AMAF,ABMD120,MABFAD,ABC60,ABM+ABC180,M、B、E共线,MAEMAB+BAEFAD+BAE60,EAF60,AEAE,FAEMAE(SAS),MEAFEA,过A作AHBC于H,作AKEF于K,AHAKABsin602,作AEF的外接圆O,连接OA、OE、OF,过O作ONEF于N,EAF60,EOF120,NOF60,设EF2x,则NFx,RtONF中,ONx,OFx,ON+OAOF+ONx,OA+ONAK,x2,x2,SAEFEFAK2x4,AEF面积的最小值是4【例2】如图,已知在四边形ABCD中,ABC60,连接AC、BD交于点E,EC2AE4,若BE2ED,则BD的最大值为 解:如图,作ABC的外接圆O,连接OB,OA,OC,OE,过点O作OHAC于HAOC2ABC,ABC60,AOC120,EC2AE4,AE2,ACAE+EC6,OAOC,OHAC,AHHC3,EHAHAE1,OACOCA30,OHAHtan30,OE2,OA2OH2,OBOA2,BEOB+OE,BE2+2,BE的最大值为2+2,BE2DE,DE的最大值为1+,BD的最大值为3+3故答案为3+3变式训练【变式2-1】已知点O为直线外一点,点O到直线距离为4,点A、B是直线上的动点,且AOB30则ABO的面积最小值为 6416解:如图,过点O作直线l直线l,则直线l与直线l之间的距离为4,作点B关于直线l的对称点B,连接OB,AB,AB交直线l于点T,连接BT,过点A作AHBT于H,过点T作TWAB于W在RtABB中,AB,AB的值最小时,AB的值最小,OA+OBOA+OBAB,当A,O,B共线时,AB的值最小,此时AB的值最小,直线l垂直平分线段BB,TBTB,TBBTBB,TBA+TBB90,TAB+TBB90,TABTBA,TATB,cosAOBcosATB,可以假设THk,ATTB2k,BHTBTH(2)k,AHk,AB2k,STABABTWTBAH,2k42kk,解得k4,ABO的面积最小值为2446416,故答案为:64161如图,在RtABC中,BAC90,AB3,BC5,点D是线段BC上一动点,连接AD,以AD为边作ADE,使ADEABC,则ADE面积的最小值为 解:BAC90,AB3,BC5,AC4,SABCABAC6,ADEABC,()2,当ADBC时,AD有最小值,即ADE面积有最小值,此时,AD,ADE面积的最小值6()2,故答案为:2如图,AOB45,在边OA,OB上分别有两个动点C、D连接CD,以CD为直角边作等腰直角三角形CDE,当CD的长度保持不变且等于2cm时,则OE的最大值是+解:如图所示,在CD的左边,以CD为斜边,作等腰直角CDF,则O、F、E三点共线时OE的值最大,CDF和CDE是等腰直角三角形,CDFCDE45,EDF90,CD2,DE2,DF,由勾股定理得:EF,OEOF+EF+,OE的最大值是+,故答案为:+3如图,已知ABC中,BAC60,AD平分BAC,交BC于D,且AD4,则ABC面积的最小值为 解:如图,过点D作DEAB于点E,作DFAC于点F,BAC60,AD平分BAC,BADCAD30,设ABc,ACb,在RtADE中,DEADsinBAD4sin302,在RtACG中,CGACsinBACbsin60b,AD平分BAC,DEAB,DFAC,DEDF2,SABCSABD+SACD,ABCGABDE+ACDF,即:cbc2+b2,c+bbc,()20,c+b2,当且仅当bc时取等号,bc2,解得:bc,SABCbc,故答案为:4如图,四边形ABCD中,BAD135,B60,D120,AD5,AB6,E、F分别为边BC及射线CD上的动点,EAF45,AEF面积的最小值 解:如图,过点A作AMBC于M,过点E作EHAF于H,ANCD,交CD的延长线于N,B60,AMBC,BAM30,BM3,AM3,ADC120,ADN60,NAD30,DNAD,AN,BAD135,EAF45,BAM30,MAE+DAF60,又ADNDAF+DFA60,MAEAFD,又AMEN90,AFNEAM,设MEx,则AE,AF,EAF45,HEAF,HEAE,AEF面积AFHE()(),当a,b为正数时,(ab)20,a2+b22ab,AEF面积()2,AEF面积的最小值为,故答案为5已知点D(2,a)为直线yx+3上一点,将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转,保持两直角边始终交x轴于A、B两点,C(0,1)为y轴上一点,连接AC,BC,则四边形ACBD面积的最小值为6解:如图,取AB的中点F,连接DF,ADB90,AB2DF点D(2,a)为直线yx+3上一点,a2+32,D(2,2),过点D作DEAB于E,DE2,E(2,0),S四边形ACBDSABC+SABDABOC+ABDEAB(OC+DE)AB3DF,要四边形ACBD的面积最小,即DF最小,点D(2,2),点F在x轴上,当DFx轴时,DF最小,最小值为DE2,S四边形ACBD最小326,故答案为66如图,在RtABC中,A90,ABAC,点D在AB上,点E在AC上,且ADCE,连接DE,求的最小值解:设ABAC1,A90,ABAC,ABC是等腰直角三角形,B45,BCAB,设ADCEx,AEBD1x,过点D作DFBC于F,如图所示:则BDF是等腰直角三角形,BFDFBD(1x),DE,CFBCBF(1x)(x+1),CD,设y,整理得:yx22x+y10,x为实数,(2)24y(y1)0,即:y2y10,y,y最大值为,的最小值为:7边长为a(a为常数)的正方形ABCD中,动点E、F分别在边CD和边BC上,且EAF45(1)线段EF的最小值;(2)SECF的最大值;(3)SECF的最小值解:(1)设CEx,CFy,(xy)20,x2+y22xy,EF2x2+y2,EF最小时,x2+y22xy,即(xy)20,xy,即CECF,EFAC,EGFG,AC垂直平分EF,AEAF,EAGFAG,四边形ABCD是正方形,ABBCDAD,ADCD,ABBC,BAD
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号