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例题精讲【例1】如图,直线与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、D分别为线段AB、OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值最小时点P的坐标为_解:当x0时,y0+44,点B的坐标为(0,4);当y0时,x+40,解得:x6,点A的坐标为(6,0)点C、D分别为线段AB、OB的中点,点C的坐标为(3,2),点D坐标为(0,2)作点C关于x轴的对称点C,连接CD交x轴于点P,此时PC+PD的值最小,如图所示点C的坐标为(3,2),点C的坐标为(3,2)设直线CD的解析式为ykx+b(k0),将C(3,2),D(0,2)代入ykx+b得:,解得:,直线CD的解析式为yx+2当y0时,x+20,解得:x,点P的坐标为(,0),即点P的坐标为(1.5,0)变式训练【变1-1】如图,在平面直角坐标系中,点A是x轴正半轴上的一个定点,点P是双曲线y(x0)上的一个动点,PBy轴于点B,当点P的横坐标逐渐增大时,四边形OAPB的面积将会()A逐渐增大B不变C逐渐减小D先增大后减小解:设点P的坐标为(x,),PBy轴于点B,点A是x轴正半轴上的一个定点,四边形OAPB是个直角梯形,四边形OAPB的面积(PB+AO)BO(x+AO)+,AO是定值,四边形OAPB的面积是个减函数,即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小故选:C【变1-2】如图,一次函数y2x与反比例函数y(k0)的图象交于A,B两点,点M在以C(2,0)为圆心,半径为1的C上,N是AM的中点,已知ON长的最大值为,则k的值是 解:方法一、联立,A(),B(),A与B关于原点O对称,O是线段AB的中点,N是线段AM的中点,连接BM,则ONBM,且ON,ON的最大值为,BM的最大值为3,M在C上运动,当B,C,M三点共线时,BM最大,此时BCBMCM2,(,k0或,k0,方法二、设点B(a,2a),一次函数y2x与反比例函数y(k0)的图象交于A,B两点,A与B关于原点O对称,O是线段AB的中点,N是线段AM的中点,连接BM,则ONBM,且ON,ON的最大值为,BM的最大值为3,M在C上运动,当B,C,M三点共线时,BM最大,此时BCBMCM2,2,a1或a20(不合题意舍去),点B(,),k,故答案为:【例2】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y(x0)的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB,BC分别相交于M,N 两点OMN的面积为10若动点P在x轴上,则PM+PN的最小值是2解:正方形OABC的边长是6,点M的横坐标和点N的纵坐标为6,M(6,),N(,6),BN6,BM6,OMN的面积为10,6666(6)210,k24,M(6,4),N(4,6),作M关于x轴的对称点M,连接NM交x轴于P,则NM的长PM+PN的最小值,AMAM4,BM10,BN2,NM2,故答案为2变式训练【变2-1】已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(1,0),动点P在反比例函数y的图象上运动,当线段PA与线段PB之差的绝对值最大时,点P的坐标为(1,2)或(2,1)解:如图,设直线AB的解析式为ykx+b,将A(0,1)、B(1,0)代入,得:,解得:,直线AB的解析式为yx+1,直线AB与双曲线y的交点即为所求点P,此时|PAPB|AB,即线段PA与线段PB之差的绝对值取得最大值,由可得或,点P的坐标为(1,2)或(2,1),故答案为:(1,2)或(2,1)【变2-2】如图,一次函数y1mx+n(m0)的图象与双曲线y2(k0)相交于A(1,2)和B(2,b)两点,与y轴交于点C,与x轴交于点D(1)求双曲线的解析式;(2)经研究发现:在y轴负半轴上存在若干个点P,使得CPB为等腰三角形请直接写出P点所有可能的坐标解:(1)点A(1,2)在双曲线y2(k0)上,k122,反比例函数解析式为y2,(2)点B在双曲线y2上,2b2,b1,B(2,1),将点A(1,2),B(2,1)代入一次函数y1mx+n(m0)中,得,一次函数的解析式为yx+1;令x0,则y1,C(0,1),设P(0,p)(p0),B(2,1),BC2,BP,CP1p,CPB为等腰三角形,当BCBP时,2,p1(舍)或p3,P(0,3),当BCCP时,21p,p12,P(0,12),当BPCP时,1p,p1,P(0,1),故满足条件的点P的坐标为(0,3)或(0,12)或(0,1) 1如图,点N是反比例函数y(x0)图象上的一个动点,过点N作MNx轴,交直线y2x+4于点M,则OMN面积的最小值是()A1B2C3D4解:设点N的坐标为(,m),则点M的坐标为(2m,m)(m0),MN(2m)m+2,SOMNMNmm2m+3(m2)2+2,当m2时,OMN面积最小,最小值为2故选:B2如图,在ABC中,ABACa,BAC18,动点P、Q分别在直线BC上运动,且始终保持PAQ99设BPx,CQy,则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为()ABCD解:ABACa,BAC18,ABCACB(18018)81,ABCAPB+PAB81,PAQ99,BAC18,PAB+QAC991881,APBQAC,同理可得PABAQC,APBQAC,即,整理得,y,x、y都是边的长度,是正数,y与x之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分,纵观各选项,只有A符合故选:A3如图,已知A、B是反比例函数y(k0,x0)图象上的两点,BCx轴,交y轴于点C,动点P从坐标原点O出发,沿OABC匀速运动,终点为C,过点P作PMx轴,PNy轴,垂足分别为M、N设四边形OMPN的面积为S,点P运动的时间为t,则S关于t的函数图象大致为()ABCD解:点P在AB上运动时,此时四边形OMPN的面积SK,保持不变,故排除B、D;点P在BC上运动时,设路线OABC的总路程为l,点P的速度为a,则SOCCPOC(lat),因为l,OC,a均是常数,所以S与t成一次函数关系故排除C故选:A4已知点A是双曲线y在第一象限上的一动点,连接AO并延长交另一分支于点B,以AB为一边作等边ABC随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但始终在一个函数的图象上运动,则这个函数的表达式为 y解:设A(a,),点A与点B关于原点对称,OAOB,ABC为等边三角形,ABOC,OCAO,AO,CO,过点C作CDx轴于点D,则可得AODOCD(都是COD的余角),设点C的坐标为(x,y),则tanAODtanOCD,即,解得:ya2x,在RtCOD中,CD2+OD2OC2,即y2+x23a2+,将ya2x代入,(a4+1)x23可得:x2,故x,ya2xa,则xy3,故可得:y(x0)故答案为:y(x0)5如图,点P是双曲线C:y(x0)上的一点,过点P作x轴的垂线交直线AB:yx2于点Q,连接OP,OQ当点P在曲线C上运动,且点P在Q的上方时,POQ面积的最大值是3解:PQx轴,设P(x,),则Q(x,x2),PQx+2,SPOQ(+2)x(x2)2+3,0,POQ面积有最大值,最大值是3,故答案为36如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),将线段AB绕点A顺时针旋转90得到线段AC,反比例函数y(k0,x0)的图象经过点C已知点P是反比例函数y(k0,x0)图象上的一个动点,则点P到直线AB距离最短时的坐标为(,)解:(1)设直线AB的解析式为yax+b,将点A(1,0),点B(0,2)代入得,解得,直线AB为y2x+2;过点C作CDx轴,线段AB绕点A顺时针旋转90得到线段AC,ABOCAD(AAS),ADOB2,CDOA1,C(3,1),k3,y;设与AB平行的直线y2x+h,联立2x+h,2x2+hx30,当h2240时,h2或2(舍弃),此时点P到直线AB距离最短,解方程2x2+2x30得x,P(,),故答案为P(,)7如图,在平面直角坐标系中,点A,B在反比例函数y(k0)的图象上运动,且始终保持线段AB4的长度不变M为线段AB的中点,连接OM则线段OM长度的最小值是(用含k的代数式表示)解:如图,因为反比例函数关于直线yx对称,观察图象可知:当线段AB与直线yx垂直时,垂足为M,此时AMBM,OM的值最小,M为线段AB的中点,OAOB,点A,B在反比例函数y(k0)的图象上,点A与点B关于直线yx对称,AB4,可以假设A(m,),则B(m+4,4),(m+4)(4)k,整理得km2+4m,A(m,m+4),B(m+4,m),M(m+2,m+2),OM,OM的最小值为故答案为8如图,点A是反比例函数y在第一象限的图象上的一点,过点A作ABy轴于点B连接AO,以点A为圆心,分别以AB,AO为半径作直角扇形BAC和OAD,并连接CD,则阴影部分面积的最小值是2+2解:如图,过点D作DE垂直于CA的延长线于点E,则AED90,由题意可知,ABAC,AOAD,BACDAO90,ABy轴,ABO90,BAO+OAE90,DAE+OAE90,BAODAE,BAOEAD(AAS),DEOB点A是反比例函数y在第一象限的图象上的一点,OBAB4,
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