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专题14 直角三角形、等腰三角形、等边三角形(时间:60分钟,满分120分)一、填空题(每题3分,共30分)1下列几组数中,不能作为直角三角形三边长的是A5,12,13B9,40,41C3,4,5D2,3,4【解答】解:,以5,12,13为边能组成直角三角形,故本选项不符合题意;,以9,40,41为边能组成直角三角形,故本选项不符合题意;,以3,4,5为边能组成直角三角形,故本选项不符合题意;,以2,3,4为边不能组成直角三角形,故本选项符合题意;故选:2如图,已知ABC中,AB3,AC5,BC7,在ABC所在平面内一条直线,将ABC分割成两个三角形,使其中有一个边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画()A5条B4条C3条D2条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可【解答】解:如图所示,当ABAF3,BABD3,ABAE3,BGAG时,都能得到符合题意的等腰三角形故选:B3(2022黑龙江大庆)下列说法不正确的是()A有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C有两个角互余的三角形是直角三角形D底和腰相等的等腰三角形是等边三角形【答案】A【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定,对各选项逐项分析可得出正确答案【详解】解:A、设1、2为锐角,因为:1+2+3=180,所以:3可以为锐角、直角、钝角,所以该三角形可以是锐角三角形,也可以是直角或钝角三角形,故A选项不正确,符合题意;B、如图,在ABC中,BEAC,CDAB,且BE=CDBEAC,CDAB,CDB=BEC=90,在RtBCD与RtCBE中,RtBCDRtCBE(HL),ABC=ACB,AB=AC,即ABC是等腰三角形,故B选项正确,不符合题意;C、根据直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形,故C选项正确,不符合题意;D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形,故D选项正确,不符合题意;故选:A4(2022广西梧州)如图,在中,是的角平分线,过点D分别作,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是()ABCD【答案】C【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解【详解】解:是的角平分线,故选项A、D结论正确,不符合题意;又是的角平分线,故选项B结论正确,不符合题意;由已知条件推不出,故选项C结论错误,符合题意;故选:C5(2022湖北鄂州)如图,直线l1l2,点C、A分别在l1、l2上,以点C为圆心,CA长为半径画弧,交l1于点B,连接AB若BCA150,则1的度数为()A10B15C20D30【答案】B【分析】由作图得为等腰三角形,可求出,由l1l2得,从而可得结论【详解】解:由作图得,为等腰三角形,BCA150,l1l2故选B6(2021辽宁九年级一模)如图,是等边三角形,是边上的中线,点在上,且,则( )A100B105C110D115【答案】B【分析】由是等边三角形,可得B=60,由是边上的中线,可得BD=CD=,ADBC,由,ED=CD,可求ECD=45,由三角形外角性质可求AFC=105【详解】解:是等边三角形,B=60,AB=AC,是边上的中线,BD=CD=,ADBC,ED=CD,EDC=90,ECD=DEC=45,AFC是FBC的外角,AFC=B+FCD=60+45=105故选择:B7(2021广东九年级一模)如图,在中,是角平分线,是中线,则的长( )A3B4C5D6【答案】B【分析】由等腰三角形的性质推出,再根据直角三角形斜边中线的性质即可求得【详解】解: ,是角平分线, , , 是中线, , ,故选:B8. 如图,点O是等边三角形ABC内一点,连接OA、OB、OC,并以OC为一边向外作等边三角形OCD,连接AD若AOB=110, BOC=150,则OAD的度数为( )A45B50C55D60【答案】B【分析】根据已知易证ACDBCO,得出ADC=BOC=150,又因OCD是等边三角形, 易证ADO=90,又由AOB+BOC+AOC=360,求出AOC=100,从而得AOD=40,再根据直角三角形的两个内角互余即可求出OAD的度数【解析】解:ABC和OCD是等边三角形,AC=BC,OC=CD, ODC=DCO=COD=ACB=60,DCO-ACO=ACB-ACO即ACD=BCO在ACD和BCO中 ACDBCOADC=BOC=150ADO=90,AOB+BOC+AOC=360,AOC=100,AOD=40,OAD=90-40=50故选B9对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,点E为对角线BD上任意一点,连接AE、CE 若AB=5,BC=3,则AE2-CE2等于( )A7B9C16D25【答案】C【解析】【分析】连接AC,与BD交于点O,根据题意可得,在在与中,利用勾股定理可得,在在与中,继续利用勾股定理可得,求解即可得【详解】解:如图所示:连接AC,与BD交于点O,对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,在中,在中,在中,在中,故选:C10(2022黑龙江)如图,中,AD平分与BC相交于点D,点E是AB的中点,点F是DC的中点,连接EF交AD于点P若的面积是24,则PE的长是()A2.5B2C3.5D3【答案】A【分析】连接DE,取AD的中点G,连接EG,先由等腰三角形“三线合一“性质,证得ADBC,BD=CD,再由E是AB的中点,G是AD的中点,求出SEGD=3,然后证EGPFDP(AAS),得GP=CP=1.5,从而得DG=3,即可由三角形面积公式求出EG长,由勾股定理即可求出PE长【详解】解:如图,连接DE,取AD的中点G,连接EG,AB=AC,AD平分与BC相交于点D,ADBC,BD=CD,SABD=12,E是AB的中点,SAED=6,G是AD的中点,SEGD=3,E是AB的中点,G是AD的中点,EGBC,EG=BD=CD,EGP=FDP=90,F是CD的中点,DF=CD,EG=DF,EPG=FPD,EGPFDP(AAS),GP=PD=1.5,GD=3,SEGD=3,即,EG=2,在RtEGP中,由勾股定理,得PE=2.5,故选:A二、填空题(每题4分,共24分)11如图,点C所表示的数是()【答案】1【分析】根据勾股定理求出AB的长为,根据弧的半径相等得ACAB,根据两点之间的距离求得点C表示的数【详解】解:根据勾股定理得:,ACAB,点C表示的数是1故答案为:112(2022湖南岳阳)如图,在中,于点,若,则_【答案】3【分析】根据等腰三角形的性质可知是的中点,即可求出的长【详解】解:,故答案为:313已知等腰三角形的底边长为6,一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分,其中一部分比另外一部分长2,则三角形的腰长是 【分析】其中一部分比另外一部分长2,分两种情况:腰比底大2或底比腰大2,分别求出腰即可【解答】解:等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分,这两部分的差即是腰与底的差的绝对值,其中一部分比另外一部分长2,腰比底大2或底比腰大2,腰为8或4故答案为:8或414(2022湖南永州)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则_【答案】3【分析】根据题意得出AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,设AF=DE=CH=BG=x,结合图形得出AE=x-1,利用勾股定理求解即可得出结果【详解】解:大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,根据题意,设AF=DE=CH=BG=x,则AE=x-1,在RtAED中,即,解得:x=4(负值已经舍去),x-1=3,故答案为:315如图,在四边形中,对角线,交于点,则的长为_【答案】【分析】如图,过点作于点,根据30角的直角三角形的性质可求出CH的长,然后根据等腰直角三角形的性质、已知条件和勾股定理可依次求出EH、CE、AE、DE的长,进而可得DH的长,再根据勾股定理即可求出答案【解析】解:如图,过点作于点,又,则,在直角中,则AD=DE,AD2+DE2=AE2,在直角中,根据勾股定理可得:故答案为:16(2022辽宁锦州)如图,在中,点D为的中点,将绕点D逆时针旋转得到,当点A的对应点落在边上时,点在的延长线上,连接,若,则的面积是_【答案】【分析】先证明 是等边三角形,再证明,再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和,再利用勾股定理求出,从而求得的面积【详解】解:如下图所示,设与交于点O,连接和,点D为的中点,,,是的角平分线,是, 是等边三角形,, 三、简答题(共46分)17(7分)如图,点D是内部的一点,过点D作,垂足分别为E、F,且求证:为等腰三角形【答案】见解析.【分析】欲证明ABAC,只要证明ABCACB即可;【解析】证明:,在和中,即,为等腰三角形18(7分)(2022四川自贡中考真题)如图,是等边三角形, 在直线上,求证: 【答案】详见解析【分析】由等边三角形的性质以及题设条件,可证ADBAEC,由全等三角形的性质可得【详解】证明:是等边三角形,AB=AC,ABC=ACB,ABD=ACE,在ADB和AEC中, ADBAEC(SAS),
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