专业好文档 3.1导数与函数的单调性 【学习要求】 1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数判断函数的单调性． 3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 【学法指导】 结合函数图像(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想. 一．基础知识回顾 1.函数单调性：一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 二．问题探究 探究点一：函数的单调性与导函数正负的关系 例1：已知导函数f′(x)的下列信息：当10；当x>4，或x<1时，f′(x)<0； 当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图像的大致形状． 解：当10，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”． 综上，函数f(x)图像的大致形状如图所示． 跟踪训练1：函数y＝f(x)的图像如图所示，试画出导函数f′(x)图像的大致形状． 解：f′(x)图像的大致形状如下图： 注：图像形状不唯一． 例2：求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3－3x2－36x＋16；(2)f(x)＝3x2－2ln x. 解：(1)f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x＋2)(x－3)．由f′(x)>0得，x<－2或x>3；由f′(x)<0得，－20，即2·>0，解得－.又∵x>0，∴x>.令f′(x)<0，即2·<0，解得x<－或00，∴00，所以x＋1>0，由f′(x)>0得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)<0得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)>0得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x) ＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)．因为0≤x<2π，所以cos x＋1≥0，由f′(x)>0得00，∴函数在(0,6)上单调递增． 2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是(D) 解析：由导函数的图像可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确 3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为 (A) A． B． C．(0，＋∞) D．(0，a) 解析：f(x)的定义域为{x|x>0}，由f′(x)＝－a>0，得00，得x>2；令y′<0，得x<2，所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．(2)y′＝3x2－1，令y′>0，得x>或x<－；令y′<0，得－0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间. 五．作业设计 1． 命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的 (A) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2． 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (D) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 3． 函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)是 (A) A．增函数B．减函数C．常数 D．既不是增函数也不是减函数 4． 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是 (B) A．y＝sin x B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 5． 如果函数f(x)的图像如图，那么导函数y＝f′(x)的图像可能是 (A) 6． 设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当ag(x) B．f(x)g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b) 7． 函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图像如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为∪[2,3) 8． 函数y＝x－2sin x在(0,2π)内的单调递增区间为． 9．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则a的取值范围为________． 10.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图像． 解：由y＝f′(x)的图像可以得到以下信息：x<－2或x>2时，f′(x)<0，－20，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图像大致如下： 11．求下列函数的单调区间： (1)y＝x－ln x； (2)y＝. 解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，由y′>0，得x>1；由y′<0，得00，得x<1－或x>1＋；令f′(x)<0，得1－0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，解得00时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)． 3.2函数的极值 【学习要求】 1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2．掌握函数极值的判定及求法. 3．掌握函数在某一点取得极值的条件． 【学法指导】 函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质．函数极值可以在函数图像上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用. 一．基础知识回顾 1．极大值点与极大值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值． 2．极小值点与极小值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值． 3．如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值. 二．问题探究 探究点一：函数的极值与导数的关系 问题1：如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？ 答：以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y