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中公教育公考领域第一品牌在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,中公教育专家研究出一种新的计数方法。这种方法的基本思路是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。一、容斥原理1:两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既是【示例1】一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?数学得满分人数一A,语文得满分人数一B,数学、语文都是满分人数一AHB,至少有一门得满分人数一AUB。AUB=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。二、容斥原理2:三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。如下图所示,灰色部分AnB-AnBnc、Bnc-AnBnc、cnA-AnBnc都被重复计算了1次,黑色部分AnBnc被重复计算了2次,因此总数AUbuc=A+B+c-(AnB-AnBnc)-Bnc-AnBnc)-(cnA-AnBnc)-2AnBnc=A+B+c-AnB-Bnc-cnA+AnBnc。即得到:第1页,共2页中公教育中公教育公考领域第一品牌【示例2】某班有学生45人,每人都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人?参加足球队fA,参加排球队一B,参加游泳队fC,足球、排球都参加的fAQB,足球、游泳都参加的fCnA,排球、游泳都参加的fBnc,三项都参加的fAnBnCo三项都参加的有AnBnC=AUBUC-A-B-C+AnB+BnC+CnA=45-25-22-24+12+9+8=3人。第2页,共2页
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