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专题51 不等式 基本不等式1 【考点讲解】一、具本目标:基本不等式: .(1) 了解基本不等式的证明过程.(2) 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.考点剖析:利用基本不等式求函数的最值.备考重点:含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查之一,它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用二、知识概述:基本不等式1.如果,那么(当且仅当时取等号“=”).推论:().2.如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).推论: (,);.3. .【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解注意:形如yx(a0)的函数求最值时,首先考虑用基本不等式,若等号取不到,再利用该函数的单调性求解 3.(1)在利用均值定理求最值时,要紧扣“一正、二定、三相等”的条件“一正”是说每个项都必须为正值,“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值“三相等”是说各项的值相等时,等号成立(2)多次使用均值不等式解决同一问题时,要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为:(1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.4.利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式,(1),当且仅当时取等号;(2) , ,当且仅当时取等号;首先要注意公式的使用范围,其次还要注意等号成立的条件;另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.常见题型:1.利用基本不等式证明:已知、都是正数,求证: 2.利用基本不等式求最值:(1)已知求函数的最小值;拼凑成两正数之和,使其积为定值,运用均值不等式可求出最小值.【解析】(1)由.,当且仅当,即时,函数取得最小值.(2)已知,求函数的最大值.【解析】由得,当且仅当,即时,函数取得最大值.【真题分析】1.【2017山东,文】若直线过点(1,2),则2a+b的最小值为 .【解析】本题考点是基本不等式的具体应用.由直线过点(1,2)可得,所以.当且仅当时等号成立.【答案】2.【2017天津,理12文13】若,则的最小值为_.【答案】3.【2019优选题】若正数x,y满足x3y5xy,则3x4y的最小值是_【解析】本题考点是基本不等式的运用.(1)方法一由x3y5xy可得1,3x4y(3x4y)()5.当且仅当,即x1,y时,等号成立,3x4y的最小值是5.方法二由x3y5xy得x,x0,y0,y,3x4y4y4y4(y)25,当且仅当y时等号成立,(3x4y)min5.【答案】54.【优选题】已知x,y(0,),2x3()y,若(m0)的最小值为3,则m_.【答案】5.【2015高考四川,理9】如果函数在区间上单调递减,则mn的最大值为( )(A)16 (B)18 (C)25 (D)【解析】本题考点是二次函数与基本不等式的综合应用.时,抛物线的对称轴为.据题意,当时,抛物线的开口向上,根据题意可得即.由且得.当时,抛物线开口向下,据题意得,即.由且得,故应舍去.要使得取得最大值,应有.所以,所以最大值为18.选B.【答案】B6.【2016优选题】已知直线axbyc10(b,c0)经过圆x2y22y50的圆心,则的最小值是() A9 B8 C4 D2【答案】A7.【2016优选题】设等差数列an的公差是d,其前n项和是Sn,若a1d1,则的最小值是_【解析】本题考点是数列与基本不等式的综合应用问题.因数数列an为等差数列,所以通项与和分别为:ana1(n1)dn,Sn,(n1)(21),当且仅当n4时取等号的最小值是. 【答案】8.【2017优选题】 若直线()始终平分圆的周长,则的最小值为 .【解析】本题考点是圆与基本不等式的综合应用.直线平分圆周,则直线过圆心,所以有(当且仅当时取“=”).【答案】9. 【2017优选题】 若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是 .【答案】10.已知x,y均为正数,且xy,求证:. 【解析】本题考点是基本不等式的具体应用,注意拚凑法的应用.因为x0,y0,xy0, = , 所以 【模拟考场】1.已知,且,则的最小值为( )A. 8 B. 9 C. 12 D. 16【答案】B2.设,若的最小值为( )A. B.8 C. D.【答案】D3. 已知函数,若且,则的取值范围是( )A B C D【解析】由已知得:,所以.注意,因为,所以不能取等号.选D.【答案】D4.下列函数中,最小值为2的是( )A. B. C. D. 【解析】当 时 ,当 时 , ,当且仅当时取等号,由于无解,所以; ,当且仅当时取等号,所以选D. 【答案】D5.若两个正实数满足,且不等式有解,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C6. 已知,则的最小值为 ( )A. 4 B. 8 C. 9 D. 6【解析】=,当且仅当成立时,等号成立,即。选B.【答案】B7.设,则的最小值为( )A. 4 B. 9 C. 7 D. 13【答案】B8.设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当取得最大值时,的最大值是()A0 B1 C. D3【解析】1,当且仅当x2y时等号成立,此时z2y2,当且仅当y1时等号成立,故所求的最大值为1.【答案】B9.若直线mx+ny+2=0(m0,n0)截得圆的弦长为2,则 的最小值为( )A. 4 B. 6 C. 12 D. 16【解析】圆心坐标为,半径为1,又直线截圆得弦长为2,所以直线过圆心,即, ,所以 ,当且仅当时取等号,因此最小值为6,故选B【答案】B10.对于使成立的所有常数中,我们把的最小值叫做的上确界,若正数且,则的上确界为( )A. B. C. D. -4【解析】,当且仅当 时取等号,因此的上确界为,选A.【答案】A11.已知正数满足,则的最小值为_.【答案】2512.设均为正数,且,证明:证明:由得. 由题设得,即. 所以,即. 11
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