，-专业资料,WORD格式;-可编辑-学号：2012501007石河子大学本科毕业论文（设计）数定理及其应用院 系师范学院专 业数学与应用数学姓 名向必旭指导老师曹月波 职 称讲师摘要留数，也称残数，是指函数在其孤立奇点处的积分。综观复分析理 论的早期发展，这一概念的提出对认识孤立奇点的分类及各类奇点之间的 关系具有十分重要的意义。同时，它将求解定积分的值的方法推进到一个 新的阶段，通过函数的选取，积分路径的选取等等，求解出了许多被积函 数的原函数解不出来的情况，为积分理论的发展奠定了充分的基础。1825 年，柯西在其关于积分限为虚数的定积分的报告中，基于 与计算实积分问题的情形的类比,处理了复积分的相关问题，并给出了关于 留数的定义。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念，形成了定义。柯西所给的这一定义一直沿用到了现在，推广到了微分方程，级数理 论及其他一些学科，并在相关学科中产生了深远影响，成为一个极其重要 的概念。因而很自然地产生了这样一个问题：柯西为什么要定义这一概念 或者说，什么因素促使柯西提出了留数的定义显然这一问题对于全面再现 柯西的数学思想，揭示柯西积分理论乃至整个复分析研究的深层动机等具 有极为重要的理论意义和历史意义。随着留数的发展，复积分的相关问题 得到了极大的进步，并解决了一些广义积分和特殊定积分的计算问题。关键字：留数；留数定理；积分目录摘要 1. 引言2. 留数21留数的定义及留数定理22留数的求法23函数在无穷远处的留数3 用留数定理计算实积分3】计算形如的积分32计算形如厂:f 3) d尤的积分33计算形如亡籍沖仏的积分34计算形如和的积分Q(x)Qx)35计算积分路径上有奇点的积分参考文献1 引言留数理论是柯西积分理论的延续。其中的泰勒级数和洛朗级数是研究 解析函数的有力工具。留数在复变函数论本身和实际应用中都是很重要 的，它和计算周线积分(或归结为考察周线积分)的问题有密切关系。此-完整版学习资料分享外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域函内数的零点分布状况。2.留数2.1如果函数f(z)在点a是解析的，周线C全在点a的某邻域内，并包围点a,则根据柯西积分定理，有但是，如果a是f(y)的一个孤立奇点，且周线C全在a的某个去心邻域内, 并包围点a,则积分4 dz的值，一般说来，不再为零。并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起来，我们有定义2.1设函数f(z)以有限点a为孤立奇点，即f(y)在点a的某去心领域0 |z-a| ；?内解析，则称积分f(.dz(T.z-a =pf0 p R)为f(z)在点a的留数，记为蹩/ 由柯西积分定理知道，当0 w p L(l+z2)2J2.3函数在无穷远点的留数定义设oo为f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在圆环域R |团R)为f在点oo的留数，记为Res|/(z),oo，这里L是指顺时针方向(这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向)。如果f(z)在R |z| +00的洛朗展开式为 附)=为亂一“九刖，则Resff, oo = -C-i这里，我们要注意，Z = 8即使是f(g)的可去奇点，在Z = OO的留 数也必是这是同有限点的留数不一致的地方。定理如果f(z)在扩充复平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)为Zt，Z2,Zn,s，则f(z)在各点的留数总和为零 关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则 法则Res/(X),8= Res /(j) 例3求下列函数在所有孤立奇点处的留数：(D .;(2).zsin7分析 对于有限的孤立奇点a计算留飙龄厅仗)盘最基本的方法就是寻 求洛朗展开式中负幕项CQz-d)-1的系数但是如果能知道孤立奇点 的类型，那么留数的计算也许稍简便些.。例如当a为可去奇点时，Rm厅卫=0 (切记当日=8时此结论不 成立)对于极点处留数的计算，我们有相应的规则或公式。对于无穷远点的留数Res厅(z),oo，般是寻求f(z)在R |z| +oo内洛朗 展开式中负幕项Cz-1的系数变号-J，也可转变为求函数”白在 z二0处的留数，还可以用公式Res|/(z),oo = -刖厅血，其中血卫為为O的有限个 奇点。解(1)函数有孤立奇点0和OO,而且易知在R z b0）0 a + bcosO解令乂 = e询，则-（7 14z2a-Va2-b2其中 a = zEE,b为实系数二次方程的两个相异实根由根与系数的关系邮=1，且显然IBI A g,故必g 1.于是，被积函数f(z)在|z| = 1上无奇点。在单位圆|材 1.内只有一个二阶极点乂 = o和一个一阶极点乂 = 0。贝gResz=0除A舄“鼎=鳴=畔W哼!由留数定理得32形如J+0Q f(x)dx型的积分把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一 f(z)二曙，其中P，Q均为关于乂的多项式，且分母Q(Z)的次数至少比分子p(z)的次数高两次；第二f(z)在半平面上的极点为zk(k = 1,23川)在实轴上的极点为xk(k = 1,23川)则有厂：f (X)血=2ni=1 盘 f 例6计算1 =广：器血(0)解由于，且上半平面只有一个极点砌，因此s (z2+a2)21例7设0计算积分旷磊它一共有四个一阶极点Tl+2kTI.畋=ae 4 1 (k = 0,1,2f 3)且符合定理的条件。而Res1 I _1_ %z=aJ I 丿百莎一 一 而(fc = 04,2,3)(这里用到了(畋严*淤=0)f在上半平面内只有两个极点饥。及,于是,71 7TS1I1-7T2匹衣3.3形如型的积分Q(x)1) 留数公式定理2 (若尔当引理)设函数g(殳)沿半径圆周心：z = Rel(0 0 4-oolim rg(z)eint2dz = 0(?n 0)证明 VO O,3Bo() 0，使当R 时，有 g(z) fzerR 于是氐劲eim2dz =d9 Rsedd (2)sinfl这里利用了|剳但尹)X 腕叫=fi以及liTTLffe | |sin&imRcos G于是由若尔当不等式(0 口7T271pe-mJ?sm0d?二竺(1 _二竺m 乂m将( 2)化为g(z)eimzdz 2R计算I = JJc x2-2x+10不难验证，满足若尔当引理条件z2-Zz+10这里m ，=占百函数有两个一阶极点z = l + 3及 = 1- 3b于是joo x2-2x+10扌 e3 (cos 1-3 si