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鸡兔同笼问题与假设法、问题的背景“鸡兔同笼”最早出现在孙子算经中。许多小学算术应用题都可以转化 成这类问题,或者用解它的典型解法- “假设法”来求解。因此很有必要学会它 的解法和思路:例题:有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只? 思考一:我们设想,每只鸡都是“金鸡独立”,一只脚站着;而每只兔子都用两条后 腿,像人一样用两只脚站着现在,地面上出现脚的总数的一半,也就是244三 2=122 (只).在122这个数里,鸡的头数算了一次,兔子的头数相当于算了两次.因此从122 减去总头数88,剩下的就是兔子头数122-88=34,有34只兔子当然鸡就有54只.答:有兔子34只,鸡54只.上面的计算,可以归结为下面算式:总脚数三2-总头数=兔子数.上面的解法是孙子算经中记载的,利用化归的思想进行了转化。做一次 除法和一次减法,马上能求出兔子数,多简单!能够这样算,主要利用了兔和鸡 的脚数分别是4和2, 4又是2的2倍。可是,当其他问题转化成这类问题时,“脚数” 就不一定是4和2, 上面的计算方法就行不通。思考二:我们对这类问题给出一种一般解法。如果设想88只都是兔子,那么就有4X 88只脚,比244只脚多了88X4-244=108 (只).每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所 以共有鸡(88X4-244)三(4-2) =54 (只)说明我们设想的88只“兔子”中, 有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数二(兔脚数X总头数-总脚数)三(兔脚数-鸡脚数).当然,我们也可以设想88只都是“鸡”,那么共有脚2X88=176 (只),比244 只脚少了244-176=68 (只).每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚,68三2=34 (只). 说明设想中的“鸡”,有34只是兔子,也可以列出公式兔数二(总脚数-鸡脚数X总头数)三(兔脚数-鸡脚数).上面两个公式不必都用,用其中一个算出兔数或鸡数,再用总头数去减,就 知道另一个数。假设全是鸡,或者全是兔,通常用这样的思路求解,一般我们称 之为“假设法”冈財所讲的例子告诉了大家是鸡兔的“头和”与“脚和”,根据问题条件的 情况,一般可以把鸡兔同笼问题归结为:1、“头和”与“脚和”;2、“头和” 与“脚差”;3、“头差”与“脚和”;4、“头差”与“脚差”。“鸡”和“兔”是两种东西,实际上还有三种或者更多种东西的类似问题。 需要我们将“三种或多种”转化为“两种”二、两个量的问题的类型1、基本类型:“头和”与“脚和”例:笼里有鸡与兔,数头有100个,数脚有240只。问:鸡与兔各有多少只?分析:假设100只都是鸡,那么就应该有2X100 = 200 (只)脚,但实际上 有240只脚,比假设的情况多了 240-200 = 20 (只)脚,出现这种情况的原因是 把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡,那么每换一只,头 的数目不变,脚数增加了 2只。因此只要算出12里面有几个2,就可以求出兔 的只数。解:有兔(240-2X100)三(4-2) =20 (只),有鸡 100-20 = 80 (只)。答:有20只兔,80只鸡。当然,我们也可以假设100只都是兔子,那么就应该有4X100 = 400 (只) 脚,但实际上有240只脚,比假设的情况少了 400-240=160 (只)脚,这是因 为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔,每换一只,头的数目不变,脚数减少了 4-2 =2 (只)。因此只要算出20里面有几个2,就可以求出鸡的只数。有鸡(4X100-240)三(4-2) =80 (只),有兔10080 = 20 (只)。由例1看出,解答鸡兔同笼问题通常采用假设法,可以先假设都是鸡,然后 以兔换鸡;也可以先假设都是兔,然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。2、“头和”与“脚差”例:鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只,问鸡与兔各多少只?分析:这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们脚数的总和,而是给出了 它们脚数的差这又如何解答呢?思路一:100只全是鸡,那么脚的总数是2X100=200 (只)这时兔的脚数为0, 鸡脚比兔脚多200只,而实际上鸡脚比兔脚多80只因此,鸡脚与兔脚的差数比已 知多了 (200-80) =120 (只),这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡, 鸡的脚数将增加2只,兔的脚数减少4只那么,鸡脚与兔脚的差数增加(2+4) =6 (只),所以换成鸡的兔子有120三6=20 (只)有鸡(100-20) =80 (只)。解:兔(2X100-80)三(2+4) =20 (只)鸡 100-20=80 (只)思路二:假设去掉多出来的80只鸡脚,也就相当于去掉了40只鸡,现在这题 的条件就转化为了:鸡与兔共有60只,鸡的脚与兔的脚一样多。在鸡脚和兔脚一 样多的情况下,鸡的只数是兔的只数的2倍。解:兔(100-80三2)三(2+1) =20 (只)鸡 100-20=80 (只)答:鸡与兔分别有80只和20只。3、“头差”与“脚和”例:鸡比兔多60只,鸡脚和兔脚共240只,问鸡与兔各多少只?分析:这个例题与前面例题是有区别的,没有给出它们头数的总和,而是给出了 它们头数的差这又如何解答呢?假设去掉多出来的60只鸡,也就相当于去掉了 120只鸡脚,现在这题的条件 就转化为了:鸡与兔一样多,鸡的脚与兔的脚一共120只。在鸡和兔一样多的情 况下,兔的脚数是鸡的脚数的2倍。解:兔(240-2X60)三(1+2)X2三4=20 (只)鸡 100-20=80 (只)4、“头差”与“脚差”例:鸡比兔多60只,鸡脚比兔脚多80只,问鸡与兔各多少只?分析:这个例题与前面例题是有区别的,既没有给出它们头数的总和,也没有给 出脚数的和,只是给出了差,这又如何解答呢?思路一:假设去掉多出来的60只鸡,也就相当于去掉了 120只鸡脚,现在这题 的条件就转化为了:鸡与兔一样多,鸡的脚比兔的脚少40只。在鸡和兔一样多 的情况下,兔的脚数是鸡的脚数的2倍。一只兔比一只鸡多2只脚。解:兔 40三(4-2) =20 (只)鸡 100-20=80 (只)思路二:假设去掉多出来的80只鸡脚,也就相当于去掉了 40只鸡,现在这题的 条件就转化为了:鸡比兔多20只,鸡的脚与兔的脚一样多。在鸡脚和兔脚一样 多的情况下,鸡的只数是兔的只数的2倍。解:兔:(60-40)三(2-1) =20 (只)鸡 100-20=80 (只)三、三个量的问题例1有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对(蜘蛛8条腿; 蜻蜓6条腿,两对翅膀;蝉6条腿,一对翅膀),求蜻蜓有多少只?分析这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题观察数字特点,蜻蜓、蝉都是 6条腿,只有蜘蛛8条腿.因此,可先从腿数入手,求出蜘蛛的只数我们假设三种 动物都是6条腿,则总腿数为6X 18=108 (条),所差118-108=10 (条),必然是 由于少算了蜘蛛的腿数而造成的所以,应有(118-108)三(8-6) =5 (只)蜘 蛛这样剩下的18-5=13 (只)便是蜻蜓和蝉的只数再从翅膀数入手,假设13只 都是蝉,则总翅膀数1X13=13 (对)比实际数少20-13 = 7 (对)这是由于蜻 蜓有两对翅膀,而我们只按一对翅膀计算所差,这样蜻蜓只数可求7三(2-1) =7 (只)解:假设蜘蛛也是6条腿,三种动物共有多少条腿?6X18=108 (条) 有蜘蛛多少只?(118-108)三(8-6) =5 (只) 蜻蜒、蝉共有多少只?18-5=13 (只) 假设蜻蜒也是一对翅膀,共有多少对翅膀? 1X13=13 (对) 蜻蜒多少只?(20-13)三 2-1) = 7 (只)答:蜻蜒有7只.例2某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少 做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多, 那么做对4道的人数有多少人?解:对2道、3道、4道题的人共有52-7-6=39 (人)。他们共做对181-1X7-5X6=144 (道)。由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2。5道题的人 (2+3)三2=2.5)。这样兔脚数=4,鸡脚数=2.5,总脚数=144,总头数=39。对4道题的有(144-2.5X39)三(4-1。5) =31 (人)。答:做对4道题的有31人。例3、学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔、圆珠笔和钢笔共232支,共花 了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍.已知铅笔每支0.60元,圆珠笔每支2.7元, 钢笔每支6.3元问三种笔各有多少支?解:从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”这两种笔可并成一种笔,四支铅笔 和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作(0.60X4+2.7)三5=1.02 (元).现在转化成价格为1.02和6.3两种笔.用“鸡兔同笼”公式可算出,钢笔支数是 (300-1.02X232)三(6.3-1.02) =12 (支).铅笔和圆珠笔共232 12 = 220 (支).其中圆珠笔 220三(4+1) =44 (支).铅笔 220-44=176 (支).答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支.例4、商店出售大、中、小气球,大球每个3元,中球每个1.5元,小球每个1元张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多. 问每种球各买几个?解:因为总钱数是整数,大、小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是 整数,而且还是3的整数倍我们设想买中球、小球钱中各出3元就可买2个中球, 3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是(1.5X2+1X3)三(2+3) =1.2 (元).从公式可算出,大球个数是(120-1.2X55)三(3-1.2) =30 (个).买中、小球钱数各是(120-30X3)三2=15 (元).可买10个中球,15个小球.答:买大球30个、中球10个、小球15个.例4、某种考试已举行了24次,共出了426题每次出的题数,有25题,或者 16题,或者20题那么,其中考25题的有多少次?解:如果每次都考16题,16X24=384,比426少42道题.每次考25道题,就要多25-16=9 (道).每次考20道题,就要多20-16=4 (道).就有9 X考25题的次数+4 X考20题的次数=42.请注意,4和42都是偶数,9 X考25题次数也必须是偶数,因此,考25题的次 数是偶数,由9X6=54比42大,考25题的次数,只能是0,2, 4这三个数由于42 不能被4整除,0和4都不合适只能是考25题有2次(考20题有6次).答:其中考25题有2次.例5、有50位同学前往参观,乘电车前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元, 乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多 少位?解:由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往 的人数一定是5的整数倍.如果有30人乘电车,110-1.2X30=74 (元).还余下50-30=20 (人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.如果有40人乘电车110-1.2X40=62 (元).还余下50-40=10 (人)都乘地下铁路前往,钱还有多(626X10).说明假 设的乘电车人数又多了 .30至40之间,只有35是5的整数倍.现在又可以转化成“鸡兔同笼”了:总头数50-35=15,总脚数 110-1.2
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