方差公式的妙用湖南省冷水江市七中（417500）李继龙若数组x1、x2、xn的平均数为，则其方差为S2 =(x1 -)2 +(x2 -)2 +(xn-)2=(+)-n2. 显然，S20. 特别地，由S2 =0得x1=x2 =xn=.本文抓住方差的这一特性解题.请看：1、解方程组例1解方程组求出所有的实数解.解视x、y、z为一组数据，则=1.S2 =(x2 +y2 +z2) -312 =(3-3)=0.x=y=z =1，且适合（3），原方程组有唯一实数解.2、求最值例2设实数a、b、c、d、e适合a+b+c+d+e =8，a2 + b2 +c2 +d2 +e2 =16，试求e的最大值.解由题设知：a+b+c+d =8 -e，a2 +b2 +c2 +d2 =16-e2.则数组a、b、c、d的方差S2 =(a2 +b2 +c2 +d2 -4()2 )=16-e2 -(8-e)2 = -e(e-)0.0e，所求e的最大值为.例3设m、n、P均为正实数，且，求的最小值.解视m、n为一组数据，由方差公式得m、n的方差为：0， 0. m、n、p均为正实数， .当且仅当mn时，取最小值.3、证不等式例4若实数a、b、c，满足a +b +c =1，求证：a2 +b2 +c2 .解视a、b、c为一组数据，则=，S20，又S2 =a2 + b2 +c2 -3()2 =(a2 +b2 +c2 -).(a2 +b2 +c2 -)0，即a2 +b2 +c2 .例5设5，证明不等式：.证明视为一组数据，由方差公式得：=0.=.显然，第一个不等式中的等号不能取得，因为它成立的条件是四个数据的值相等，所以成立.4、判断三角形的形状例6ABC的三边满足，试问ABC是什么三角形(按边分类)？并证明你的结论.证明因为，所以.因此将b、c视一组数据，则它的方差为 ，因为s20，所以.又.故ABC的等腰三角形.发表于数理天地(初中版)2006年第6期3