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第一章 函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), xD定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) x=(y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数:y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x2D 当x1x2时,若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内单调增加( );若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内单调减少( ); 若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加( );若f(x1)f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性: 周期函数:f(x+T)=f(x), x(-,+) 周期:T最小的正数 4.函数的有界性: |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数: y=c , (c为常数)2.幂函数: y=xn , (n为实数)3.指数函数: y=ax , (a0、a1)4.对数函数: y=loga x ,(a0、a1)5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数: y=f(u) , u=(x)y=f(x) , xX2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、 主要内容极限的概念1. 数列的极限: 称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理: 若的极限存在必定有界.2.函数的极限: 当时,的极限: 当时,的极限: 左极限: 右极限:函数极限存的充要条件:定理:无穷大量和无穷小量1 无穷大量: 称在该变化过程中为无穷大量。 X再某个变化过程是指: 2 无穷小量: 称在该变化过程中为无穷小量。3 无穷大量与无穷小量的关系: 定理:4 无穷小量的比较: 若,则称是比较高阶的无穷小量; 若 (c为常数),则称与同阶的无穷小量; 若,则称与是等价的无穷小量,记作:; 若,则称是比较低阶的无穷小量。定理:若: 则:两面夹定理1 数列极限存在的判定准则: 设: (n=1、2、3) 且: 则: 2 函数极限存在的判定准则: 设:对于点x0的某个邻域内的一切点 (点x0除外)有: 且: 则:极限的运算规则 若: 则: 推论: 两个重要极限 1 或 2 1.3 连续一、 主要内容 函数的连续性1. 函数在处连续:在的邻域内有定义, 1o 2o 左连续: 右连续:2. 函数在处连续的必要条件: 定理:在处连续在处极限存在 3. 函数在处连续的充要条件: 定理:4. 函数在上连续: 在上每一点都连续。 在端点和连续是指: 左端点右连续; 右端点左连续。 a+ 0 b- x5. 函数的间断点:若在处不连续,则为的间断点。间断点有三种情况: 1o在处无定义; 2o不存在; 3o在处有定义,且存在, 但。 两类间断点的判断: 1o第一类间断点:特点:和都存在。可去间断点:存在,但,或在处无定义。 2o第二类间断点:特点:和至少有一个为, 或振荡不存在。无穷间断点:和至少有一个为函数在处连续的性质1. 连续函数的四则运算: 设, 1o 2o 3o 2. 复合函数的连续性: 则:3. 反函数的连续性: 函数在上连续的性质 1.最大值与最小值定理:在上连续在上一定存在最大值与最小值。 y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x2. 有界定理: 在上连续在上一定有界。 3.介值定理: 在上连续在内至少存在一点 ,使得:, 其中: y y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0 a 1 2 b x 推论: 在上连续,且与异号 在内至少存在一点,使得:。 4.初等函数的连续性: 初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章 一元函数微分学 2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念 1导数:在的某个邻域内有定义, 2左导数:右导数: 定理:在的左(或右)邻域上连续在其内可导,且极限存在; 则: (或:)3.函数可导的必要条件: 定理:在处可导在处连续 4. 函数可导的充要条件: 定理:存在, 且存在。 5.导函数: 在内处处可导。 y 6.导数的几何性质: 是曲线上点 处切线的斜率。 o x0 x求导法则 1.基本求导公式: 2.导数的四则运算: 1o 2o 3o 3.复合函数的导数: ,或 注意与的区别: 表示复合函数对自变量求导; 表示复合函数对中间变量求导。4.高阶导数: 函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念 1.微分:在的某个邻域内有定义, 其中:与无关,是比较高 阶的无穷小量,即: 则称在处可微,记作: 2.导数与微分的等价关系: 定理:在处可微在处可导,且: 3.微分形式不变性: 不论u是自变量,还是中间变量,函数的微分都具有相同的形式。2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理 1.罗尔定理: 满足条件: y a o b x a o b x 2.拉格朗日定理:满足条件: 罗必塔法则:( 型未定式)定理:和满足条件:1o;2o在点a的某个邻域内可导,且;3o 则:注意:1o法则的意义:把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o若不满足法则的条件,不能使用法则。 即不是型或型时,不可求导。 3o应用法则时,要分别对分子、分母 求导,而不是对整个分式求导。 4o若和还满足法则的条件, 可以继续使用法则,即: 5o若函数是型可采用代数变 形,化成或型;若是型可 采用对数或指数变形,化成或型。导数的应用1 切线方程和法线方程:设:切线方程:法线方程:2 曲线的单调性: 3.函数的极值:极值的定义:设在内有定义,是内的一点;若对于的某个邻域内的任意点,都有:则称是的一个极大值(或极小值),称为的极大值点(或极小值点)。 极值存在的必要条件:定理:称为的驻点 极值存在的充分条件: 定理一:当渐增通过时,由(+)变(-);则为极大值; 当渐增通过时,由(-)变(+);则为极小值。定理二: 若,则为极大值; 若
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