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习 题 5.11. 如何表述定积分的几何意义?根据定积分的几何意义推出下列积分的值:(1), (2), (3), (4).解:若在几何上表示由曲线,直线及轴所围成平面图形的面积. 若时,在几何上表示由曲线,直线及轴所围平面图形面积的负值.(1)由下图(1)所示,. 2A(2) -1 -1 1 1 1A1A (1) 1 -1 3A4A5A2 (3) 11(4)(2)由上图(2)所示,.(3)由上图(3)所示,.(4)由上图(4)所示,.2. 设物体以速度作直线运动,用定积分表示时间从0到5该物体移动的路程S.解:3. 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.解:任取分点,把分成个小区间,小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式:,记, 则.4. 利用定积分定义计算.解:连续函数,故可积,因此为方便计算,我们可以对 等分,分点取相应小区间的右端点,故 = = =当(即),由定积分的定义得: =5. 利用定积分的估值公式,估计定积分的值.解:先求在上的最值,由 , 得或.比较 的大小,知,由定积分的估值公式,得,即 .6. 利用定积分的性质说明与,哪个积分值较大?解:在区间内:,由比较定理: 7. 证明:.证明:考虑上的函数,则,令得,当时,当时,.在处取最大值,且在处取最小值. 故,即.8. 求函数在闭区间-1,1上的平均值.解:平均值9. 设在0,1上连续且单调递减,试证对任何有.证明: = = 其中 ,又单调减,则,故原式得证.习 题 5-21设,求. 解:,2设,求.3. 计算下列各导数. (1); (2); (3) 解 (1) (2) (3) 4. 计算下列各定积分:(1), (2), (3), (4),(5), (6), (7),(8), (9), (10)(11), (12), (13) . 解:(1)=. (2)=.(3). (4)=.(5). (6).(7)=.(8) =.(9) =.(10)=. (11).(12)=+=2+2=4.(13) =.5. 求下列极限(1) , (2).解:(1)此极限是“”型未定型,由洛必达法则,得=(2) .6. 求函数极值点.解: 当令,得驻点,和,在,在单调递减;在,在单调递减;在,在单调递减;所以 为极小值点,为极大值点.为极小值点,7. 设,求.解:.8. 设,求,并讨论在上的连续性.解:当时,当时,故,显然,在和上连续,在处 ,又,故在也连续,从而在上连续. 9. 设是连续函数,且,求.解:令,则,从而,即 , .10.解:原式.11求.解:原式.12求由所决定的隐函数对的导数.解:将两边对求导得 .13. 设为连续可微函数,试求 并用此结果求解 故 .14. 设在内连续且,证明函数在内为单调增加函数.证 因为=,=,所以因为,且当时, ,得,因此,即 ,所以在内为单调增加函数.15. 证明积分中值定理:若函数在闭区间上连续,则在开区间内至少存在一点,使. 证:因连续,故它的原函数存在,设为,根据牛顿-莱布尼茨公式,有,显然,函数在区间满足微分中值定理的条件,按照微分中值定理,在开区间内至少存在一点,使得故 习 题 5-31. 下面的计算是否正确,请对所给积分写出正确结果:(1)=.(2)=2=2.答:(1)不正确,应该为:=(2)不正确,应该为 =2.2. 计算下列定积分:(1) ; (2) ; (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11) ;(12). 解:(1)令=,则,当= 0 时,= 0;当= 4 时,于是=(2)=.(3).(4) .(5)令,时;时,.于是.(6) 令,则,.当时,当时,.原式.(7) 令,.当时,;当时,.原式(8) 因为= 从而 =.(9) 原式.(10) 原式.(11) 原式. .(12)设,于是=.3. 计算下列定积分:(1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8) ; (9); (10).解:(1)=.(2) = =1 . (3) =移项合并得 .(4).(5).(6).(7).(8).(9).而 , 故 , (10).4. 利用函数的奇偶性计算下列积分:(1); (2) ; (3); (4).解:(1) =.(2) 原式.(3) 为奇函数, .(4) 利用定积分的线性性质可得,原式,而前两个积分的被积函数都是奇数,故这两个定积分值均为0, 原式,5. 如果,且求,解:由已知条件得 ,即, 即得.6. 证明:. 证明:令 ,则,,7.若在区间上连续,证明(1)=;(2)= ,由此计算 .证明:(1)设.且当时,;当故 .(2)设, = 利用此公式可得:= = =.8. 设在上连续,证明 .证明 .令,则 故 .9. 设是以为周期的连续函数,证明:.证明 .令,则 (以为周期) 故.10. 设在上连续,证明:证明 利用分部积分法,= 11. 计算. 解 令 则 而 所以 .习 题 5-41. 下列解法是否正确?为什么?.答:不正确.因为在,上存在无穷间断点 , 不能直接应用公式计算,事实上,+,而不存在, 故发散.3. 下列广义积分是否收敛?若收敛,则求出其值.(1) ; (2) ; (3) ; (4)(5); (6);(7); (8)解:(1)=,发散.(2)=.(3).(4)=.(5).(6). (7).(8)令,则,于是 从而 .3.下列广义积分是否收敛?若收敛,则求出其值.(1); (2) ;(3) ; (4)(收敛的广义积分).解:(1) =+.=.(2) 令,于是,.(3) .(4) 令,则.4.证明广义积分 当时收敛;当时发散.证明:当,发散;当=.5.已知,求常数.解:左端右端 ,解之或.习 题 5-51、求由下列曲线围成的平面图形的面积:(1)及直线;解:如图,解方程组,得交点,所求面积为.(2)与(两部分均应计算);解:如图,解方程组,得交点、,所求上半部分面积为.所求下半部分面积为.(3)与直线;解:如图,解方程组,得交点,所求面积为.(4)轴与直线.解:选为积分变量,如图,所求面积为2.求二曲线与所围公共部分的面积解: 当等于0和时,两曲线相交,所围公共部分的面积为.3、求由所围成的图形,绕轴及轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积.解:如图,绕轴旋转所得的旋转体的体积为绕轴旋转所得的旋转体的体积为.4 求由曲线和所围成的图形绕轴旋转后所得旋转体体积.解 .5 求由曲线所围图形绕旋转一周所得旋转体体积.解 立体为由曲线,所围成图形绕旋转所得的立体减去由曲线,所围成图形绕旋转所得立体,因此体积为 ,由定积分的几何意义可知 所以 .6. 试求由曲线所围成的图形分别绕轴和轴旋转所得的旋转体的体积. 解 绕轴旋转时的体积设为,绕轴旋转时的体积设为 则 , . 7 过点抛物线的切线,该切线与上述抛物线及围成一平面图形,求此图形绕旋转所成旋转体的体积. 解: 设所求切线与抛物线相切于点,则所求切线方程为 ,因为切线过点,由解得 ,从而得切线方程为,由此可得旋转体的体积为.8、有一立体,以长半轴、短半轴的椭圆为底,而垂直于长轴的截面都是等边三角形,求该立体的体积.解:解:取坐标系如图,底面椭圆方程为x垂直于轴的截面为等边三角形,对应于的截面的面积为于是所求立体体积为9、计算曲线相对应于到的一段曲线弧长.解:由弧长的公式得:.10、计算相应于自到的一段弧长.解:由弧长的极坐标公式得:.11. 求星形线的全长.解 由星形线的对称性知其弧长 .12在轴上作直线运动的质点,在任意点处所受的力为,试求质点从运动到处所做的功解 ,13、设把一金属杆的长度由拉长到时,所需的力等于,其中为常数,试求将该金属杆由长度拉长到所作的功.解:由于金属杆拉长所需的力与拉长的长度成正比,且,其中为常数.选择金属杆拉长的长度为积分变量,其取值范围为,对于任意,在拉长的长度区间上,功元素为,于是. 14.一个底半径为,高为的圆柱形水桶装满了水,要把桶内的水全部吸出,需要做多少功(水的密度为)?解:建立如图坐标系. 取为积分变量, 任取子区间,相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为 ,于是,把桶内的水全部吸出,需做功.15、一矩形闸门垂直立于水中,宽为,高为,问闸门上边界在水面下多少米时?它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍.解:设所求高度为,建立如图坐标系,任取小区间,小区间上压力元素为 于是,由题意得:, 得
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