第十六章 二次根式16.1二次根式 16.2二次根式的乘除 16.3二次根式的加减【知识精要】二次根式及其性质一、一周知识概述1、二次根式一般地，我们把形如(0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式2、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是0，即被开方式是非负数3、二次根式的性质(3)4、积的算术平方根的性质(a0，b0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积5、商的算术平方根的性质(a0，b0)商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根6、最简二次根式如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a0）,算术平方根非负 (0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式如4、注意逆用二次根式的性质，即，利用这两个性质可以对二次根式进行化简5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式三、典型例题讲解例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图化简：分析：待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全平方式，且结构特征符合性质3的，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性解：由数轴上点的位置可知ab，0a1，b0，b0，b10，a10总结：（1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大小；（2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性例2、化简下列二次根式：分析：（1）（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简总结：（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根例3、若x为实数，化简下列各式（1）（2）分析：由于x为实数，要确定中的x1和中的x2的正负号，必须将实数划分为几个区域来讨论解：（1）=|x1|当x10，即x1时，|x1|=x1当x10，即x1时，|x1|=(x1)=x1（2）=2=|x2|2|1x|令x2=0，则x=2，令x1=0，则x=1，x=2,x=1称为零点值把x=2，x=1这两点标在数轴上(如上图)这时数轴被分成三段：x2，1x2，x1,就按这三种情况去讨论脱绝对值符号1）当x2时|x2|2|1x|=(x2)2(1x)=3x；2）当1x2时，|x2|2|1x|=(x2)2(1x)=x4；3）当x1时|x2|2|1x|=(x2)2(1x)=3x说明：解这类题的大致步骤：找出零点值(使绝对值等于零的x的值)；在数轴上标出这些点，将整个数轴分成若干区间；按区间范围逐个讨论如何脱绝对值符号；从而达到化简目的例4、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值分析：x199y与199xy互为相反数，且x199y0，199xy0同时成立，x199y=0，即xy=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值解：由二次根式有意义的条件知，xy=199将其代入已知等式得又根据算术平方根为非负实数有2得xym2=0，结合得m=xy2=1992=201总结：当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零中考解析例1、（河南）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：解析：由数轴上实数a、b的位置可知，ab0，例2、（绵阳市）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A12B11C8D3解析：是正整数，12n是一个整数的平方数，当n增大时，12n减小，所以当n=11时，12n=1，所以n的最大值为11答案：B例3、（荆门市）若，则xy的值为（）A1B1C2D3解析：本题考查二次根式的意义，由题意可知 x10且1x0,，xy=2，故选C答案：C一、选择题(共20分)：1、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、下列根式中,最简二次根式是( )3、计算：3的结果是 ( )A、 B、 C、 D、4、如果a，那么a一定是 （ ）A、负数 B、正数 C、正数或零 D、负数或零5、下列说法正确的是( )A、若 ,则a0 B、若 ,则a0C、 D、5的平方根是6、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根,则m为( ) A、-3 B、1 C、-3 或1 D、-17、能使等式 成立的x值的取值范围是（ ）A、x2 B、x0 C、x2 D、x28、已知xy0,化简二次根式的正确结果是( ) 9、已知二次根式的值为3，那么x的值是（ ）A、3B、9C、-3D、3或-310、若 ，则两数的关系是（ ）A、 B、 C、互为相反数D、互为倒数二、填空题(共30分)：11、当a=-3时，二次根式的值等于 。 12若成立。则x的取值范围为 ；13、实数a在数轴上的位置如图所示，化简: =_. 14、若ab0,则化简 的结果是_.15、已知，则 。16、已知：当a取某一范围内的实数时，代数式 的值是一个常数（确定值），则这个常数是 ；17、若，则的值为 ；18、若正三角形的边长为2cm，则这个正三角形的面积是_cm2。19、在平面直角坐标系中，点P（-，-1）到原点的距离是 。20、观察下列等式：=+1；=+；=+；，请用字母表示你所发现的规律： 。三、解答题（50分）：21、计算（每小题3分，共18分）（1） (2)（3） (4) （5） （6）22、 （8分）已知：，分别求下列代数式的值：（1） （2）23、（5分）先化简，再求值： ，其中24、（6分）由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），已知AB，求：（1）四边形ABCD的周长；（2）四边形ABCD的面积 25、（6分）在如图的44的方格内画ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为3，。