高等动力学习题答案第一章1.1解： 由此图可以看出，该均质杆的长度为L,并已知该杆的两个端点的坐标分别为A（,）,B（,），建立坐标系，根据其几何关系可确定其约束方程：（- ）+ (-）=L又BODBACh/(-)=(-)/( - )=/L所谓的完整系统即系统中的约束均为完整约束（仅对质点的位形加以限制约束）的系统，在此系统中的约束仅对杆的位形加以限制约束，故为完整系统。另外，均质杆的B和O两点与台阶构成点接触（高副），故f=3-2=1即自由度为1。 1.2.解：因为制导系统保证质点的速度始终对准质点，所以，所形成的直线的斜率为 可见是对位形和速度加以限制，此系统是非完整系统。 因为有两个自由度，有一个自由度，所以此系统有三个自由度。1.3解：（1）因为AB是长度为的刚性杆，故AB两点坐标应该满足方程为：=（2）选择中点的坐标,和相对轴X的倾角为广义坐标。因为接触点A的速度只能沿与AB杆垂直方向即:= 两式联立得: (3)故此系统为二自由度的非完整系统。1.4 解:由几何关系知 对系统有 因此,拉格朗日函数为 所以 由于,是对称的,所以有由拉格朗日方程有所以,能量积分为即化简为1.5选取两圆柱的转角为广义坐标，由题意可知此系统的动能为：故： 系统势能：拉格朗日函数： 由拉格朗日方程：（i=1,2）12整理1，2式，其能量积分：即：1.6解；此系统的自由度=，此系统为二自由度完整系统。以上，下躯干相对垂直轴偏角为广义坐标，下躯干质心速度： 系统动能和势能为：计算非保守力虚功得广义力代入拉格朗日方程得1.7解：设圆盘的中心o为坐标原点，取位移x，转角为广义坐标。动能： （其中） 势能： 将T和V代入拉格朗日函数得：则 带入式得: 得： 拉格朗日函数中不显含x，存在循环积分能量积分：T+V=C即： 化简得：18 解：此系统为单自由度系统，但动能和势能不显含时间t,以干与铰链中心O的连线相对垂直的偏角 , 为广义坐标，因为杆对O点的转动惯量 所以，杆L1 的动能为： 杆L2 的动能为：系统的总动能：T T1 T2 系统的势能： 拉格朗日函数LTV中不显含t ，存在能量积分，将系统的动能T和势能V代入能量积分公式 TVC得广义能量积分，整理后得1.9解：设滑块偏离圆心O的长度为x,则滑块的动能为：T=1/2*m+(x) To=1/2*m (x) ,T2=1/2*m滑块的势能为V=1/2*k *x滑块的相对势能为V*=V-To=1/2*k *x-1/2*m (x) 广义能量积分为：T2 +V*=1/2*m+1/2*k *x-1/2*m (x) 1.9.解：设滑块偏离圆心的距离为x， 则滑块的动能为 其中， 滑块的势能为 滑块的相对势能 广义能量积分为 1.10. 解：1）以AB杆为研究对象AB的势能: AB的动能： + 故因为L不显含，存在循环积分所以 即 系统为定常约束，存在能量积分 即2）当时 相对势能： 广义能量积分： 即 =1.11解：由1.7题知：动能： （其中） 势能：则拉格朗日函数由上式知：拉格朗日函数中不显含x，存在循环积分 得： 代入拉格朗日函数得：劳斯函数： 由其中，分别是非循环速度的零次，一次，二次函数则： 劳斯势能：拉格朗日方程：可以用劳斯函数表示为其中：则用劳斯函数表示的拉格朗日方程为：1.12.解：分解质点P的速度在三个方向上：（1）径向速度；（2）POZ平面上的速度；（3）XOY平面上的圆周速度。所以动能为： 以XOY平面为参考面 因此，拉格朗日函数为： L中不含，则为循环坐标，所以，代入L中，得劳斯函数为所以，将R代入得劳斯函数表示的拉氏方程高等动力学习题答案第二章2.1 解:首先计算广义动量 由习题1.4得出拉格朗日函数所以 把以上几式代入,得H中不显含时间t,所以 H=C正则方程为2.2解：分解质点P的速度在三个方向上：（1）径向速度；（2）POZ平面上的速度；（3）XOY平面上的圆周速度,所以系统的动能为以XOY平面为参考面 势能 ： 因此，拉格朗日函数为： 计算系统的广义动量，得到 因为，哈密顿函数与拉格朗日函数完全等价，所以把,代入拉格朗日函数得标准哈密顿函数利用哈密顿正则方程得 因为0 ，所以广义动量积分为C又因为H中不显含时间t , 所以0 ，所以广义能量积分HC2-4解：（1）约束方程为：其变分形式为：用分别乘以以上两个式子得：由题意得：由第一类拉格朗日方程得：（2）约束方程为： 即：其变分形式为： 系统的动能和势能分别为： 所以 ，又将以上式子代入劳斯方程得： 2.6解：A点的坐标约束方程其变分形式系统的动能和势能分别为由劳斯方程代入得2.7解：由为广义坐标，建立约束方程：其变分形式为： 动能： 其中 势能： 其中 劳斯方程： 代入劳斯方程得： （1） 代入劳斯方程得： .(2) 代入劳斯方程得：.(3)2.8解：以广义坐标，的导数取作准速度，令，题1.3的约束方程为A与广义坐标，对应的广义力分别为：，代入（2.3.16）即，其余导出，B利用式（2.3.23）计算加速度能量G并利用A式消去得：C将B，C式代入（2.3.19）导出运动的微分方程即即即2-9解：取为广义速率，令则约束条件为：用表示各轴的基矢量，将冰刀的质心速度和角速度用广义速率表示为：可直接从上式得出刚体的质心偏速度和偏角速度：刚体上作用力的主矢和主矩为：惯性力的主矢和主矩为：所以：代入方程得：2.10 解: 由式2.4.6知 所以由题意得:把上式代入 ,得2.12解：由题知：转子的动能和势能分别为：磁场的能量为静电场能量：代入公式得：已知忽略转子的机械阻尼，故总耗散函数为：代入拉格朗日-麦克斯韦方程：得2.12解：由题知：转子的动能和势能分别为：磁场的能量为静电场能量：代入公式得：已知忽略转子的机械阻尼，故总耗散函数为：代入拉格朗日-麦克斯韦方程：得高等动力学习题答案第三章3.1 试利用李雅普诺夫直接方法判断下列系统的零解稳定性： （1） 解：选择正定的李雅普诺夫函数， 计算V沿方程解曲线的全导数，得 由于 为负定，系统的未扰运动为渐近稳定。（2） 解：选择正定的李雅普诺夫函数， 计算V沿方程解曲线的全导数，得 由于 为负定，系统的未扰运动为渐近稳定。 （3） 解：选择不定的李雅普诺夫函数， 计算V沿方程解曲线的全导数，得 由于 为正定，系统的未扰运动为不稳定。3.10 利用劳斯赫尔维茨判据判断以下系统的零解稳定性。 解：系统的扰动方程变形为 行列式为 本征方程为