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3.4基本不等式 【教学目标】1.组织学生观察背景图形,抽象出重要不等式(这个不等式的几何解释),学生能使用实数性质法证明这个不等式,帮组学生从“几何”、“代数”两个角度理解重要不等式,体会数形结合的思想;2.引导学生通过代数式类比方式得到基本不等式;结合课本p98页的填空,帮组学生体会分析法证明命题的基本思路(平面几何证明中的追根溯源的分析方法);结合课本的探究要求,引导学生进一步探究基本不等式的几何解释,强化数形结合的思想;3借助例1帮组学生尝试使用基本不等式解决简单的最值问题,体会基本不等式这种数学模型的工具性作用,提升解决问题的水平;4.渗透数形结合的思想,体会数学知识源于生活,用于生活的实际,激发学习兴趣,培养创新精神和严谨的推理论证水平。【教学重点】应用数形结合的思想理解基本不等式,准确使用基本不等式解决最值问题,从不同角度探索不等式的证明过程。【教学难点】在几何背景下抽象出重要不等式,理解基本不等式;能利用基本不等式解决最值问题。【学习过程】(一)创设情景如图是在2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。赏析:勾股定理是人类最伟大的科学发现之一。两千多年以来,上至帝王,下至百姓对这个定理的证明都颇感兴趣,因为这个定理太贴近人们的生活实际。三国时期吴国的数学家赵爽使用几何图形的截、割、拼、补,创制了一副“弦图”,证明了勾股定理,证明可谓别具匠心,极富创新意识,后人称其为“赵爽弦图”(它是由八个全等的直角三角形拼接而成)。他以独特风格为中国古代以形证数、数形统一树立了优秀的典范。(二)学习新知今天我们来研究这个图形中是否蕴含着经典的不等式结论?问题1.如图,正方形ABCD的面积和阴影部分面积存有怎样的关系?问题2.假设设AE=a,BE=b,根据上述关系你能得出怎样的代数结论?结论1:结论2:(代数结论)反应了a,b这两个字母取任何值时有代数式a2+b2的值大于或等于代数式2ab的值.问题3:这两个代数式的值何时相等?也就是上式取等号的条件?结论3:当且仅当a=b的时, a2+b2=2ab,也就是中“等号”成立.重要不等式: a2+b22ab(a,b,当且仅当a=b时取“=”)文字表达:两数的平方和不小于它们积的2倍.问题4:以上探究过程是对重要不等式的“几何论证”,你能给出它的代数证明吗? 法一(实数的性质法)(a-b)20,a2+b2-2ab0 a2+b22ab, 当且仅当a=b时取“=”法二(做差法)(a2+b2)-2ab=(a-b)2 当ab时,(a-b)20 当ab时,(a-b)20 所以(a-b)20,即a2+b22ab, 当且仅当a=b时取“=”(完成数与形的高度统一,体会数形结合思想)探究:重要不等式中,当也可写成,当a=b时,等号成立。基本不等式(均值不等式): (当且仅当a=b时取“=”)(板书题目)在数学中,我们称为、的算术平均数,称为、的几何平均数.文字表达:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。所以也称为均值不等式(学生看书P98页完成书上的填空内容,这是一个证明的分析思路)问题5:你能否按照以前平面几何证明中经常使用的追根溯源的分析方法,给出上述结论的证明?证明:,当且仅当a=b时等号成立 当且仅当a=b时等号成立注意:假设把看作是正数、的等差中项,看作是正数、的等比中项,那么基本不等式能够表达为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。问题6:你能用以下图得出基本不等式的几何解释吗?O如图, AB是一条线段,动点C是AB上一点, AC=a, BC=b.以AB为直径画圆, O为圆心,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.如何用a, b表示OD? OD=_如何用a, b表示CD? CD=_所以:基本不等式几何意义是“半径 不小于 半弦”,点C与原点重合时,半径与半弦相等;问题7:基本不等式还有其他的几何解释吗?(课后探究)基本不等式几何意义是“直角三角形斜边的中线 不小于 斜边的高”,三角形为等腰直角三角形时,斜边的中线和斜边的高相等。知识使用例1:用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时,所用篱笆最短? 最短的篱笆是多少?分析:设定未知量,联系已知和未知的关系,建立数学模型,注意模型使用的条件。解:设菜园的长为,宽为,则,篱笆的长为,因为x0,y0,由,可得 ,即当且仅当x=y时等号成立.由解得x=y=10.满足条件所以,这个矩形的长,宽都为10时所用篱笆最短,最短篱笆是40例2.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长宽各为多少时,菜园面积最大?最大面积是多少?(学生练习后比照书p99页的解答过程)感悟:两题的共同点都是利用基本不等式“数学模型”解决最值问题,满足的条件有三个:“一正、二定、三相等”练习1: ,当取什么值,函数的值最小?最小值是多少?变式:,求函数的最小值分析:利用基本不等式的数学模型不能解决最值问题,能够利用函数单调性来解决。再一次强调使用基本不等式“数学模型”解决最值问题的条件有三个:“一正、二定、三相等”练习2.用20厘米长的铁丝折成一个面积最大的矩形,理应怎样折?分析:基本不等式的变形使用小结本节课研究了两个不等式,重要不等式,基本不等式,研究的角度都是从“几何解释”和“代数论证”两个方面。利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件。布置作业A.研读课文、整理笔记B.课后练习P100 14C.在基本不等式的推导过程中,数与形的结合开拓了我们的研究思路,你能结合基本不等式的学习谈谈对数形结合的思想的理解吗?板书设计基本不等式重要不等式 结论:求最值满足条件“一正、二定、三相等” 练习:例1a2b22ab 当且仅当时等号成立基本不等式若a0,b0,则 当且仅当时等号成立 例2证明:
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