第9章 多元函数微分法及其应用本章讨论多元函数的微分学多元函数的基本概念、理论和方法与一元函数中的概念、理论、方法有很多相似之处仅仅因为自变量的增加，而使问题变得多样和复杂些二元函数，在内容和方法上会有一些实质性的差别和变化，而从二元函数到三元函数乃至一般的元函数，仅仅形式上的不同，没有本质的区别，掌握了二元函数的相关理论和方法后，很容易将其推广到一般的多元函数中去；（2）二元函数有直观几何协助思考，而多于二元的函数再也没有直观几何。我们必须时时注意多元函数与一元函数有哪些相似之处和哪些本质差别。熟练二元，推广到元。本章必需上册一元函数的极限、连续与间断、导数、微分基础知识和求导方法请同学们务必认真复习。第1节 多元函数的基本概念1.1 点集我们知道，数轴上的点与实数一一对应，直角坐标系下，平面上的点与二元坐标一一对应，空间中的点与三元坐标一一对应。数轴是，称为1维空间；平面是，称为2维空间；空间是，称为3维空间表示全体元坐标的集合，即，称为维空间，其中每个元坐标都称为一个（维）点我们把维向量也写为。表示维点还是维向量，要看上下文。两个维向量相加（减）还是对应坐标相加（减）；数乘维向量还是乘遍每个坐标。维空间的两点，间的距离为，称为维向量的模1.2 邻域设。点集称为点的圆邻域。是以点为中心，为半径，去掉圆周的圆盘点集称为的去心圆邻域点集称为点的方邻域点集称为的去心方邻域推广到维空间：设。点的圆邻域；的去心圆邻域：；的方邻域：；的去心方邻域：容易看出，点的任一圆邻域一定包含某个方邻域；反之，任一个方邻域也一定包含一个圆邻域通常说邻域是指的圆邻域思考题：1集合与, 是否相同？（见右图。）。1.3内点、外点、边界点、聚点我们来考察点与点集的关系设。观察右图，看看点有什么不同的本质。1点：若存在点的某邻域使。这样的点称为点集的内点的全部内点构成的集合记为或2点：存在点的某邻域使。这样的点称为点集的外点 3点：在点的任一邻域内，既有属于的点，又有不属于的点，即：。这样的点称为点集E的边界点点集的全体边界点的集合称为的边界，记为4聚点：若的任一去心邻域内，总含有属于集合的点，即，则称点P为点集的聚点的全部聚点记为5孤立点：若，且不是的聚点，即存在P的某邻域，使，则称点P为的孤立点显然有：；，且右端三个集合互不相交集合的内点必是聚点，外点一定不是聚点；而边界点可能是聚点，也可能不是聚点；孤立点一定是边界点，非孤立点的边界点一定是聚点例如，。若，则P为E的内点；若或，则P为的边界点，也是聚点；但为的孤立点、边界点，不是聚点以上全部内容都可推广到维空间。1.4区域、闭区域观察右图，看看点集有什么不同的本质。点集：的点都是的内点。这样的点集称为开集点集：的余集（）是（中的）开集。即包含自己的全部聚点。这样的点集称为闭集称集合的全部聚点为集合的闭包点集：不开不闭例如：为中闭集，为中开集， 既不是中开集，也不是中闭集关于开集和闭集，有如下结论定理1.1 (1) 空集与全集是开集；任意多个开集之并为开集；有限多个开集之交为开集 (2) 空集与全集是闭集；有限多个闭集之并为闭集；任意多个闭集之交为闭集3有界集：设。若存在一定点又存在，使得，有，则称是有界集，否则称是无界集有界集可以包含在某个大圆盘内，无界集则不可以。4区域：设D是中的一个开集，如果对D中的任意两点P1,P2，都可用D内的一条折线 (由有限条直线段连接起来的连续曲线) 将P1与P2连接起来，则称D是一个连通的开集连通的开集称为开区域，简称为区域如果区域D中的任一条闭曲线所包围的点都属于D，则称区域D为单连通区域，否则称D为复连通区域5闭区域：区域与它的边界一起所构成的集合，称为闭区域连通不连通单连通复连通如：是闭区域；是开区域；是闭集，但不是闭区域；是开集，但不是开区域思考题：2无限多个开集之交是否一定为开集；无限多个闭集之并是否一定为闭集（不一定。例如，。）3设，试指出其边界点及聚点（边界；聚点集。）以上全部内容都可推广到维空间。1.5*平面点列的极限一列无穷无尽的平面点 （1.1）称为平面上的一个点列，记为。定义 设是平面上的点列，定点。如果对于任意给定的正数，总存在，当时，恒有，则称点为点列的极限记作 或 ，或上面定义的意思是：。定理1.2 平面点列收敛于的充分必要条件是：对应的坐标数列，分别收敛于即证必要性设，当时，有，于是，充分性设，则对，当时，有；，当时，有取，当时，故以上全部内容都可推广到维空间。根据定理1.2，点列的极限可以转化为若干数列的极限。点列的极限再没有新的内容。*定理1.3(柯西收敛定理)平面点列收敛的充分必要条件是：对，当时，有证明略去【例1.1】 证明：是的聚点的充分必要条件是：存在的点列，证充分性若存在，则对，当时，又，故在的任一去心邻域中都含有中的点，所以是的聚点必要性若是的聚点，则对，令，则存在，令，则存在；且显然，如此下去，令，则存在，。我们得到了点列，因此1.6多元函数一元函数是实数集到实数集的映射。类似地，多元函数是多维空间中点集到实数集的映射。下面我们以二元函数为例，讨论其性质所有内容和结果都可以推广到二元以上的函数中去定义1.1设是的一个非空子集。从到实数集的一个映射f称为定义在上的一个二元函数，记作 或 ，定义1.1 设是的一个非空子集，为实数集，是与之间的对应法则。如果对于中的每一个点，按照对应法则f，在中有唯一一个实数z与对应，则称在上定义了一个二元函数，记作：，称为函数在点的值。其中称为函数f的自变量，z称为函数f的因变量，称为f的定义域类似地，定义1.2设是的一个非空子集。从到实数集的一个映射f称为定义在上的一个三元函数，记作 或 ，定义1.2 设是的一个非空子集，为实数集，是与之间的对应法则。如果对于中的每一个点，按照对应法则f，在中有唯一一个实数与对应，则称在上定义了一个三元函数，记作：，称为函数在点的值。其中称为函数f的自变量，u称为函数f的因变量，称为f的定义域以上全部内容都可推广到元。定义1.n设是的一个非空子集。从到实数集的一个映射f称为定义在上的一个n元函数，记作 或 ，定义1.n 设是的一个非空子集，为实数集，是与之间的对应法则。如果对于中的每一个点，按照对应法则f，在中有唯一一个实数与对应，则称在上定义了一个n元函数，记作：或称为函数在点的值。其中称为函数f的自变量，y称为函数f的因变量，称为f的定义域二元函数的图像为3维空间中的点集：，它表示的是三维空间中的一张曲面。曲面在点的高正好是，曲面在面上的投影正好是函数的定义域可见，二元函数有几何直观帮助思考。二元以上的函数称为多元函数。与一元函数类似，多元函数也有三种表示方法。由某个解析式表示的多元函数的（自然）定义域是所有使算式有意义的自变量的点所构成的集合例如：函数的定义域为；函数的定义域为与一元函数类似，多元函数也可进行四则运算，也有复合函数。多元基本初等函数：各种各样自变量的一元基本初等函数。例如，等等。多元初等函数：基本初等函数进行有限次四则运算或复合的结果函数。多元函数的复合函数有多种情形。例如，（1）如果，则有结果是一元的复合函数。（2）如果，则有结果是二元的复合函数。（3）如果，则有复合函数。（4）如果，则有结果是四元的复合函数。等等。设，是的函数时我们画图是的函数时我们画图是的函数时我们画图结果复合函数的图如下 根据函数结构画出来的这种图称为函数图（一棵横放的树）。上图中，函数称为函数图的根；有五个叶子；从一个叶子到根的路线称为一条路径（上函数图中共有五条路径：）。思考题：4设为二元函数，试问（a为常数）能否写为？（不能。）5与是否相等？（不等。）6与是否表示同一函数？为什么？（不同。定义域不一样。）7设；问它们是否为的二元函数？（是。）习题9-1A类*1设集合，问点，分别为集合的什么点？*2求下列集合的内点，外点，边界点(1) ；(2) ；(3) 3判断下列集合中，哪些是开集，闭集，有界集及区域并指出其聚点和边界点(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；*(5) 4求下列函数的定义域：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 5求解下列各题(1) 设，求(2) 设，求(3) 设，若，求6设若当时，求函数和7设，求B类*证明：闭区域必为闭集举例说明反之不成立*试仿照中点的邻域的定义，写出中点的邻域的定义*给维空间的每一个元赋予范数后，称为欧几里得(Euclid)空间，其范数称为向量的欧几里得长度试证，范数有下列性质：(1) ；(2) ；(3) (三角不等式)第2节多元函数的极限及连续性2.1多元函数的极限下面我们以二元函数为例，给出多元函数的极限的概念定义2.1设是定义在上的一个二元函数，是的聚点，是固定的常数。如果对于任意给定的，只要，就保证则称为函数当点趋于时的极限，记作或，也记为注意：称此极限为二重极限注 二重极限的定义也可表示为：，当（或当，且）时， 对于多元函数的极限，由于点的邻域是一个平面点集，点趋近于点时，可沿邻域内的任意曲线。因此，二重极限存在的充分必要条件是：当点在邻域内以任何方式趋近于时，都以常数为极限如果找到点在邻域中以两种不同的方式趋近于时，趋近于不同的常数，则便可断定在点处极限不存在（证明极限不存在的方法！）的意义有二：（1）左边极限存在；（2）等号成立。 一元函数的极限运算法则可平行地推广到二元函数的极限运算上来定义2.n设是定义在上的一个n元函数，是的聚点，是固定的常数。如果对于任意给定的，只要，就保证则称为函数当点趋于时的极限，记作或，也记为注意：思考题：1二元函数极限的定义对于是函数定义域的边界点的情形是否适用？（是。）2对于二元函数来说，当沿任意直线趋近于时，极限值都存在且相等，问是否存在？（不一定。）【例2.1】 用定义验证解，取，当时，故草稿：因为，所以，【例2.2】 求极限解因为，所以（题目：给定，求。方法总结：把一组东西看作一个整体，变为一元函数求极限。）【例2.3】 讨论极限是否存在解考虑，即让动点沿直线趋近于原点，因，故当点沿直线趋近于原点时，函数趋近于数，此值与的取值有关，即当取不同的值时，函数趋近于不同的常数，故当时，函数的极限不存在（令，时 ，此时，与有关，故不