差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法， 可以分为离散模型和连续模型。1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)， 如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。1. 差分方程的定义给定一个数列, 把数列中的前项关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。2. 常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为 ， (1)或者表示为 (1)其中为差分方程的阶数，其中为差分方程的系数，且。对应的代数方程 (2)称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的个根称为(1)式的特征根。2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有个单特征根(互不相同的根)，则为该差分方程(1)的通解。其中为任意常数，且当给定初始条件 ， (3)时，可以确定一个特解。例1 在信道上传输三个字母且长度为的词， 规定有两个连续出现的词不能传输，试确定这个信道允许传输的词的个数。 解: 令表示允许传输且长度为为的词的个数，通过简单计算可得 ，(a,b,c), (即ab,ac, bc, bb,cc,ba,ca,cb)。当时，若词的第一个字母是或，则词可按种方式完成; 若词的第一个字母是，则第二个字母是或，该词剩下的部分可按种方式完成。 于是得差分方程 ()其特征方程为 ，特征根为 ， 则通解为 ， ()利用条件，求参数，即由，解得 ， 故得到原差分方程的通解为 ， ()2.1.2 特征根为重根设是阶差分方程的个根，重数分别为，且，则该差分方程的通解为同样的，有给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。 例2 设初始值为，解差分方程， () 解: 该差分方程的特征方程为，解得其根为，故通解为代入初始条件，得，故该差分方程的满足初始条件的解为 2.1.3 特征根为复根设阶差分方程的一对共轭复根和相异的个单根，则该差分方程的通解为其中，。 同样由给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。 另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可类似的给出差分方程解的形式。3. 常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程的一般形式为 (4)其中为差分方程的阶数，其中为差分方程的系数，且，为已知函数。在差分方程(4)中，令，所得方程 (5)称为非齐次差分方程(4)对应的齐次差分方程，即与差分方程(1)的形式相同。 求解非齐次差分方程通解的一般方法： 首先求对应的齐次差分方程(5)的通解，然后求非齐次差分方程(4)的一个特解，则为非齐次差分方程(4)的通解。 关于求的方法同求差分方程(1)的方法相同。对于求非齐次方程(4)的特解的方法，可以用观察法确定，也可以根据的特性用待定系数法确定，具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。4. 差分方程的平衡点及其稳定性在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但常常需要讨论解的稳定性。对于差分方程，若有常数是其解，即有则称是差分方程的平衡点，又对该差分方程的任意由初始条件确定的解，均有 则称这个平衡点是稳定的；否则是不稳定的。 下面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性。4.1 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 ， (6) 其中为常数，且。它的通解为 (7)易知是方程(6)的平衡点，由(7)式知，当且仅当时，是方程(6)的稳定的平衡点。4.2 二阶常系数线性差分方程 二阶常系数线性差分方程的一般形式为 ， (8) 其中为常数，当时，它有一特解，当，且时，它有一特解，不管是哪种情形，是方程(8)的平衡点。设方程(8)的特征方程为的两个根分别为，则 当是两个不同的实根时，方程(8)的通解为； 当是两个相同实根时，方程(8)的通解为 当是一对共轭复根时，方程(8)的通解为易知，当且仅当特征方程的任一特征根时，平衡点是稳定的。4.3 一阶非线性差分方程 一阶非线性差分方程的一般形式为 (9)其平衡点由代数方程解出。 为了分析平衡点的稳定性，将方程(9)的右端在点作泰勒展开，只取一次项，得到 (10)(10)是(9)的近似线性方程，是(10)的平衡点， 根据一阶常系数线性差分方程(6) 的稳定性判定的相关结论，得： 当时，方程(9)的平衡点是稳定的； 当时，方程(9)的平衡点是不稳定的。三 差分方程建模实例1 贷款买房问题 某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：1) 问该居民每月应定额偿还多少钱？2) 假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房?1.1 确定参变量：用表示月份，表示第n个月欠银行的钱，表示月利率，表示每月还钱数，表示贷款额。1.2 模型的建立与求解1) 模型的建立时间欠银行款初始一个月后二个月后三个月后n个月后由上表可得相邻两个月的递推关系式1.3 模型的求解：(1) 差分方程求解方法先求其特解。令，则，得特解为。再求对应齐次方程的通解。 对应的特征方程为，得。齐次方程的通解为：因此原方程的通解为：又因为时，得故(2) 递推法：令 =60000， =300，=0.01得 元因此，该居民每月应偿还632元。又632700，所以该居民可以去买房。2借贷问题中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年“月均还款金额表”（自1998年3月25日起执行）的一部分如下：(借款额为一万元) 单位：元贷款期限(年)年利率(%)还款总额(元)利息负担总和(元)月均还款额(元)1510.20619569.609569.60108.722010.20623488.8013488.8097.87试问他们是怎样算出来的？借贷问题的数学模型一. 符号说明 以贷款期限20年为例:借贷额-;贷款期限-为N年; 月利率-;“月均还款额”-表示每月还款额是相同的，记为;还款总额-记为.二. 建立模型一开始借款，一个月后欠银行本利为，但为了减少欠款，还了元，因而，第个月情况也是这样的，即注意到了第N个月已经不欠银行的钱了，即，因此，我们得到以下的数学模型:三. 数学模型的求解 首先求出用已知量表出的表达式。由可以猜想，并用数学归纳法证明:由等比数列前项的求和公式知:再由 ，得到:把已知量带入，就得到表中的。3生物种群数量问题一问题的提出种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比记为：， 其中相当于时的增长率，称为固有增长率，记当前 (即时)种群数量为，时刻种群数量为。若利用统计数据可知，则1）设为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。2）由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。二. 问题分析与模型建立 1. 由于为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以到时间内种群数量的增量为 (1) 又由于而当时增长率应为零，即，所以，则，把它代入方程(1)得: (2)此方程两边同除，并令，加上初始条件可得未来任意时刻种群数量所满足的数学模型为：