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第一章习题解答1 设随机变量X服从几何分布,即:。求X的特征函数,EX及DX。其中是已知参数。解 = 又 (其中 )令 则 同理 令 则)2、(1) 求参数为的分布的特征函数,其概率密度函数为 (2) 其期望和方差;(3) 证明对具有相同的参数的b的分布,关于参数p具有可加性。解 (1)设X服从分布,则 (2) (4) 若 则同理可得: 3、设X是一随机变量,是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。 (1)(2)解 (1) () 在区间0,1上服从均匀分布的特征函数为(2) = =4、设相互独立,且有相同的几何分布,试求的分布。解 = = = = 5、 试证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。证 (1) 为连续函数 = = = = 非负定(2) = = ()6、证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。解 (1) = () 且连续 为特征函数 (2) = = = 7、设相互独立同服从正态分布,试求n 维随机向量的分布,并求出其均值向量和协方差矩阵,再求的率密度函数。解 又 的特征函数为: 均值向量为 协方差矩阵为 又 8、设XY相互独立,且(1)分别具有参数为及分布;(2)分别服从参数为。求X+Y的分布。解(1) = = = = 则 (2)9、已知随机向量(X、Y)的概率密度函数为 求其特征函数。解 10、已知四维随机向量服从正态分布,均值向量为0,协方差矩阵为解又其中11、设相互独立,且都服从,试求随机变量组成的随机向量的特征函数。解 12、设相互独立,都服正态分布,试求:(1) 随机向量的特征函数。(2) 设,求随机向量的特征函数。(3) 组成的随机向量的特征函数。解()()()13、设服从三维正态分布,其中协方差矩阵为,且试求。解又同理可得14、设相互独立同服从分布。试求的期望。解令则15、设XY相互独立同分布的随机变量,讨论的独立性。 解 有 或 则又 服从指数分布,服从柯西分布,且对有相互独立。16、设X Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量,讨论的独立性。解(1) (2) (3) 对均成立 相互独立17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下,试求(1)(2)证 (1) = (2)18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变量,X服从区间0,1上的均匀分布,Y服从参数为的指数分布。试求(1)X与X+Y的联合概率密度;(2)解 令 则 (2) 19、设是一列随机变量,且,其中K 是正常数。试证:(1) 当。(2) 当均方收敛于0;(3) 当证 令 0 (当,) 几乎肯定收敛于0 当均方收敛于0当时, 即20、设证 =
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