. .第一章 函数一本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。二复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类根本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中. 对于对数函数不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数 互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： .对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。5、 知道分段函数，隐函数的概念。. 三例题选解例1. 试分析以下函数为哪几个简单函数根本初等函或根本初等函数的线性函数复合而成的.分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进展，每一步的中间变量都必须是根本初等函数或其线性函数即简单函数。解：.例2. 的定义域、值域各是什么.答： 是的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知的定义域是，值域为.四练习题及参考答案1.那么f(x)定义域为 ，值域为f(1)=； .2.那么f(x)定义域为 ，值域为f(1) = ； .3.分解以下函数为简单函数的复合：.答案：1.- +,2.3.自我复习：习题一.A55、； 习题一.B.11.第二章 极限与连续一本章重点极限的计算；函数的连续及连续的判定；初等函数的连续性。二复习要求1了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：当0时,有：；;.参见教材P794.掌握两个重要极限:().().记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限()的如下扩展形式求型未定式极限：5.掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间都是连续的，分段函数在定义区间的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存在且等于，即：当分段函数在分段点的左右两边表达式不一样时，函数f(x)在分段点x0处连续的充要条件那么是：.6. 掌握函数连续点及类型的判定。函数的不连续点称为连续点，函数在点连续，必至少有以下三种情况之一发生：、在点无定义；、不存在；、存在，但.假设为的连续点，当及都存在时，称为的第一类连续点，特别时即存在时，称为的可去连续点；时称为的跳跃连续点。不是第一类连续点的都称为第二类连续点。7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四那么运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式2.6；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法那么(第四章)求函数的极限。三.例题选解例1.单项选择题以下极限中正确的选项是 A. B.C. D. 当时，是的 A.低阶无穷小； B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D. 等价无穷小；分析与解： A与 C显然都不对，对于D, 记，那么即D也不对，剩下的B就是正确答案。 由于 应选择D.例3.求极限：解:此极限为型当时，有,此极限为型，可用重要极限。 . 例2判断函数 的连续点，并判断其类型。解：由于是函数y 无定义的点，因而是函数y 的连续点。为函数 y 的可去连续点；为函数 y 的第二类无穷型连续。例3函数在点处连续，求常数k .分析与解：由于分段函数在分段点的左右两边表达式一样，因此在连续的充要条件是四.练习题及参考答案1.填空.当时，与相比，是_无穷小；. _；._.2.单项选择题设，下面说确的是_；A. 点都是可去连续点；B. 点是跳跃连续点，点是无穷连续点；C. 点是可去连续点，点是无穷连续点；D. 点是可去连续点，点是跳跃连续点；下面正确的选项是_.A. ； B.；C.不存在； D.答案:1.同阶而不等价的；.；.2.C; .B.自我复习.习题二(A)11. (4).24.,(4),.27. (4).28.,.30.37,.习题二(B).14.第三章 导数与微分一.本章重点. 导数的概念，导数及微分的计算.二.复习要求1.掌握函数在处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，在处的导数的定义式常用的有如下三种形式： .2.知道导数的几何意义，会求在处的切线方程。3.熟记根本求导公式及求导的运算法那么，熟练掌握以下求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：运用根本求导公式及求导的四那么运算法那么求导；复合函数求导法；隐函数求导法；取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分根本公式及运算法那么求函数的微分。6.掌握函数可微,可导及连续的关系。三.例题选解例1.求以下函数的导数： ，求=, 求.设=，求. ,求解：、此题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得： . 此题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数：上式两边对求导，视为中间变量:=注：此题除此方法外，也可以： . 例2. 设在处可导,且.求分析:将在处的导数的定义式理解为构造式:=其中为或的函数.且当时,即可.解:例3求曲线 在点 处的切线方程。解：显然，点在曲线上，现求切线的斜率，即曲线方程两边对x求导：解得 1切线方程为：即 例4、设试讨论在处的连续性及可导性。分析与解：由，；1讨论在处的连续性。在处连续。2讨论在处的可导性。分段函数在分段点的导数必须用定义求：即存在 四.练习题及参考答案1.单项选择题.设下面说确的是 .A.在不连续；B. .在连续，但不可导；C.在可导，且；D.在可导，且.2.填空题在处可导，且,那么13.求函数的导数或微分：, 求,求，求.4.设确定是的函数，求，并求出函数在点的切线方程。5、证明：1假设是偶函数且可导，那么是奇函数，2假设是奇函数且可导，那么是偶函数，答案：1.D. 2. 3.(2).；.4.；切线方程：.自我复习:习题三(A)13；21,，；24.，；25；26.,;27.；29.，；47.，54.习题三(B) 1 ；3；11.第四章中值定理与导数的应用一.本章重点求未定式极限的洛必达法那么；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；二.复习要求1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。2.熟练掌握用洛必达法那么求未定式极限的方法。注意:洛必达法那么只能直接用于求型或型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为型或型未定式才能使用法那么。洛必达法那么可以连续使用,当再次使用法那么时,一定要检验法那么的条件是否成立,当条件不满足时必须停顿使用,改用其他求极限的方法计算.在求未定式极限时，将洛必达法那么和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.三.例题选解例1. 求以下极限(1). (2). (3). 解：(1) .(2)原式为幂指型不定式型，利用代数变换：，得：其中 代换 .原式(3) = 代换 洛必达.例2.求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。解：函数的定义域为， 。令，得驻点，；无不可导点。两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：x0极小极大令得 ，无不存在的点。曲线的凹向及拐点列表讨论如下：x0-0+0-0+拐点拐点拐点由上面的讨论看出：函数的单减区间为 ；单增区间为。极小值是，极大值是。曲线的凸区间是凹区间是。曲线的拐点有三个：，。例3.证明不等式分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令那么问题转化为证即证在时，单减。时，单减，有也单减，有， 证毕。例4.证明：对任意，有分析： 此题为恒等式的证明。我们设由拉格朗日定理的推论，假设能证明 那么，再确定即可。证：当时，证毕！例5求出函数在区间上的最大、最小值。解：显然函数在闭区间上连续，因而必存在最大、最小值。由，解得区间的可疑点为：. 比较以下函数值，得 .例6.某食品加工厂生产单位的总本钱为，得到的总收益是，求出生产该商品单位的边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。解：.利润函数边际利润函数.当时，.令解得：，产量单位时，可获最大利润。注：设函数可导，导函数也称为边际函数。四.练习题与参考答案1. 求极限(1) 2. 证明. 当时，有:.3证明：4.求单调区间和极值，凹凸区间和拐点。5. 证明当时，有：，并求出常数C.参考答案：1. (1). ； . ； .4.单增区间；单减区间；极大值，极小值；上凹区间1 ；下凹凸区间- 1