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第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1. 样本空间、随机事件样本点:随机试验的每一个可能结果,用表示;样本空间:样本点的全集,用表示;注:样本空间不唯一.随机事件:样本点的某个集合或样本空间的某个子集,用A,B,C, 表示;必然事件就等于样本空间;不可能事件() 是不包含任何样本点的空集;基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2. 事件的四种关系包含关系:AB ,事件 A 发生必有事件B 发生;等价关系:AB , 事件 A 发生必有事件B 发生,且事件 B 发生必有事件A 发生;互不相容(互斥) : AB,事件 A 与事件 B 一定不会同时发生。对立关系(互逆) : A ,事件 A 发生事件A 必不发生,反之也成立;A A互逆满足AA注:互不相容和对立的关系(对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件。)3. 事件的三大运算事件的并: AB ,事件 A 与事件 B 至少有一个发生。若 AB,则 A BA B ;事件的交:AB或 AB ,事件 A 与事件 B 都发生;事件的差:A-B ,事件 A 发生且事件 B 不发生。4. 事件的运算规律交换律:结合律:ABBA, ABBA( AB)CA(BC ), (AB)CA(BC )分配律:A( BC )( AB)( AC ), A( BC )( AB)( AC )nn德摩根( De Morgan )定律:二、随机事件的概率定义和性质ABAB,U AiIAi ,对于 n 个事件,有 i1i1ABABnnIAiU Aii1i11公理化定义:设试验的样本空间为,对于任一随机事件A ( A),都有确定的实值 P(A) ,满足下列性质:(1)非负性: P(A) 0;(2)规范性: P()1;有限可加性 ( 概率加法公式 ) :对于 k 个互不相容事件 A1 , A2kk(3), Ak ,有 P(Ai)P( Ai) .i1i 1则称 P(A) 为随机事件 A 的概率 .2概率的性质P()1,P( ) 0 P( A)1P( A)若AB ,则 P( A)P( B), 且 P(B A)P(B) P( A)1 P( AB)P( A)P( B)P( AB)P( ABC )P( A)P(B) P(C ) P( AB ) P(BC )P( AC ) P( ABC )注:性质的逆命题不一定成立的. 如若 P( A)P( B), 则 AB 。()若 P( A)0,则 A。()三、古典概型的概率计算古典概型 :若随机试验满足两个条件:只有有限个样本点 , 每个样本点发生的概率相同,则称该概率模型为古典概型, P( A)k。n典型例题: 设一批产品共N件,其中有 M件次品,从这批产品中随机抽取n 件样品,则(1) 在放回抽样的方式下,取出的 n 件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A)的概率为1P( A1 )Cnm M m ( N M )n mN n.,取出的 n 件样品中恰好有m件次品(不妨设事件A )的概率为(2) 在不放回抽样的方式下2mmn mmn mP( A2 )C nAMAN MC MC N M.ANnCNn四、条件概率及其三大公式1. 条件概率: P( B | A)P( AB ) , P( A | B)P( AB )P( A)P( B)2. 乘法公式:P( AB)P( A)P( B | A) P(B) P( A | B)P( A1 A2 L An ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )L P(An | A1 L An 1 )nn3. 全概率公式:若 B1 , B2 ,L, Bn 满足 U Bi, Bi B j, ij ,则 P( A)P(Bi )P( A | Bi ) 。ii 14. 贝叶斯公式:若事件B1 , B2 ,L, Bn 和 A 如全概率公式所述,且P(A)0,则 P( Bi| A)P( Bi)P( A | Bi )n.P( Bi )P( A | Bi )i 1五、事件的独立1.定义: 若 P( AB)P( A)P( B), 则称 A,B独立 .推广:若 A1, A2 ,L , An 相互独立,P( A1 L An )P( A1) L P( An )2. 在 A, B , A, B , A, B , A, B 四对事件中,只要有一对独立,则其余三对也独立。P( AB) P( A) P( B)3. 三个事件 A, B, C 两两独立: P(BC)P(B) P(C)P( AC) P( A) P(C )注: n 个事件的两两独立与相互独立的区别。(相互独立两两独立,反之不成立。 )4. 伯努利概型: Pn (k ) Cnk pkqn k , k 0,1,2,L , n, q 1p.21. 事件的对立与互不相容是等价的。 ( X)2. 若 P( A)0, 则 A。( X)3. 若 P( A)0.1, P(B)0.5, 则 P( AB)0.05。 (X)4.A,B,C 三个事件恰有一个发生可表示为ABCABC ABC 。 ( )5. n个事件若满足 i,j , P( Ai Aj ) P( Ai )P( Aj ) ,则 n 个事件相互独立。 (X)6.当 AB 时,有 P(B-A)=P(B)-P(A)。()第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义:设样本空间为,变量X X ( ) 为定义在上的单值实值函数,则称X 为随机变量,通常用大写英文字母,用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1.定义:设随机变量X ,对于任意实数x R ,函数 F ( x)P Xx 称为随机变量X 的概率分布函数,简称分布函数。注:当 x1x2 时, P(x1 Xx2 )F ( x2 ) F (x1 )(1)X 是离散随机变量,并有概率函数p( xi ), i 1,2, 则有 F (x)p(xi ).xix(2) X 连续随机变量,并有概率密度f (x),则 F (x)P (X x)xf (t)dt .2. 分布函数性质:( 1() 是单调非减函数,即对于任意x1 x2,有F ( x1 )F (x2 ); ;F x( 20 F (x) 1;且F() lim()0 ,F( )lim( ) 1 ;xF xxF x( 3离散随机变量X, F ( x ) 是右连续函数, 即 F (x)F ( x0) ;连续随机变量X, F( x ) 在( - , +)上处处连续。注:一个函数若满足上述3 个条件,则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1. 定 义 .设 随 机 变 量 X 只 能 取 得 有 限 个 数 值P( X xi ) pi (i 1,2, ) ,则称 X为离散随机变量x1 , x2 , xn , 或 可 列 无 穷 多 个 数 值 x1 , x2 , xn , 且, pi ( i =1,2, ) 为 X 的概率分布, 或概率函数( 分布律 ).注:概率函数pi 的性质 : (1) pi0, i1, 2,;(2)pi1i2. 几种常见的离散随机变量的分布:(1)超几何分布,XH(N,M,n) ,CMkCNn kM0
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