北京市东城区2013届高三上学期期末教学统一检测数学文试题学校 班级 姓名 考号本试卷分第I卷和第n卷两部分，第I卷1至2页，第n卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I卷(选择题共40分)、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中,(1)设集合 U 1,2,3,4,5 , A 1,2,3 , B 2,3,4，则(A0B)等于(A) 2,3(B)1,4,5(C) 4,5(D) 1,5(A)-2-等于1 i i(B)(C) 1 i(D) 1 i(3)已知an为等差数列,其前n项和为12 ,则公差d等(A) 1(B) 5(C) 2(D) 33(4)执行如图所示的程序框图，输出的 k的值为(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(5) “x2 2x 3 0成立”是“ x 3成立”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件充要条件(D)既不充分也不必要条件x 2y 8,(6)已知x, y满足不等式组 2x y 8,则目标函数z 3x y的最大值为 x 0,y 0,32(A) 3(B) 12(C)8(D) 24(7)已知抛物线y2 2 Px的焦点F到其准线的距离是 8,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且| AK | J21AF |,则 AFK的面积为(A) 32(B) 16(C) 8(8)给出下列命题：在区间(0,)上，函数y x1, y(D) 41x2 , y (x 1)2, y x3中有三个是增函数；若 logm3 logn3 0则0 n m 1；若函数f(x)是奇函数，则f (x 1)的图象关于点A(1,0)对称；若函数f(x)x3 2x 3,则方程f (x) 0有2个实数根，其中正确命题的个数为(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4第II卷(共110分)二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。(9)若向量a , b满足a 1b 2 ,且a , b的夹角为鼻，则a b =M ) MS(10)若 sin3 ,且 tan 0,则 cos 5(11) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(12)已知圆C： x2 y2 6x 8 0,则圆心C的坐标为若直线y kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k(13)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p% ,第二次提价q% ;方案乙:每次都提价-pq% ,若p2q 0 ,则提价多的方案是(14)定义映射f : A B其中 A (m,n) m,n R , B R已知对所有的有序正整数对 (m, n)满足下述条件： f(m,1) 1,若 n mf(m,n) 0 ； f (m 1,n) nf(m,n) f (m, n 1)则 f(2,2)；f(n,2)三、解答题：本大题共 6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题共13分)已知函数f (x) T3sin xcosx cos2 x .(I)求f (x)的最小正周期;(n)求f (x)在区间一,一上的最大值和最小值.6 3(16)(本小题共13分)已知an为等比数列，其前n项和为Sn,且Sn 2n a (n N*).(I)求a的值及数列an的通项公式；(n)若bn n% ,求数列bn的前n项和.(17)(本小题共13分)如图，在菱形 ABCD中， MA，平面ABCD,且四边形 ADNM是平行四边形.(I)求证：AC BN ;(n)当点E在AB的什么位置时，使得 AN 平面MEC,并加以证明.(18)(本小题共13分)已知函数 f(x) -x3 mx2 3m2x 1 , m R. 3(I)当m 1时，求曲线y f(x)在点(2, f (2)处的切线方程;(n)若f (x)在区间(2,3)上是减函数，求 m的取值范围(19)(本小题共14分)1 J3已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在 x轴上且过点p(J3,),离心率是 .2 2(I)求椭圆C的标准方程；(n)直线l过点E( 1,0)且与椭圆C交于A, B两点，若EA 2 EB ,求直线l的方程.(20)(本小题共14分)已知实数组成的数组(x1,x2 ,x3J ”, xn)满足条件:nnxi 0; xi 1.1 1i 1(I )当n 2时，求x1，x2的值；(n)当 n 3时，求证：3x1 2x2 x31 ；(出)设 a1 a? a3 | an,且a an (n 2),n1,一 一、求证：aixi (a1 an).i 12东城区2012-2013学年度第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准(文科)一、选择题(本大题共 8小题，每小题5分，共40分)(1) B(2) D(3)C(4)A(5) B(6) BA(8)C二、填空题(本大题共 6小题，每小题5分，共30分)(9) 1万(10)4(11) 54(12) (3,0)(13)乙(14) 22n 24注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得 2分.三、解答题(本大题共 6小题，共80分)(15)(共 13 分)31 cos2x斛：(I) f(x) sin 2x 22sin(2x ) 一 4分62所以T . 6分(n)因为 一x , 635所以一2x 5-.6661所以一sin(2x -) 1 . 10 分2 6当x 时，函数f(x)的最小值是0, 6.3-当x 时，函数f(x)的最大值是 13分62(16)(共 13 分)解：(I)当n 1时，S1阚 2 a 0. 1分当 n 2 时，an Sn Sn 1 2n1. 3分因为an是等比数列，所以 a1 2 a 21 1 1,即 a1 1. a 1 5 分n 1*所以数列an的通项公式为an 2 (n N ). 6分(n)由(I)得bn nan n 2n 1,设数列必的前n项和为Tn.则Tn 1 1 2 2 3 22 4 23 1 n 2nl.2Tn12 222 3 23 | (n1)2n 1n2n.-得Tn 1 11 2 1 22 Ml 12n1n2n 9分2n 1n1 (2 22 ) n 21 2(1 2n 1) n 2n 11分12分(n 1) 2n 1所以 Tn (n 1) 2n 1.13分(17)(共 13 分)解：(I)连结BD ,则AC BD.由已知DN 平面ABCD , 因为 DN pDB D , 所以AC 平面NDB .又因为BN 平面NDB ,所以AC BN. 6分(n)当E为AB的中点时，有 AN 平面MEC.7分CM与BN交于F ,连结EF .由已知可得四边形 BCNM是平行四边形，F是BN的中点，因为E是AB的中点，所以ANEF. 10分又EF 平面MEC ,AN 平面MEC ,所以AN 平面MEC. 13分(18)(共 13 分)1解：(I)当 m 1 时，f (x) x3 x2 3x 1 ,32又 f(x) x 2x 3,所以 f (2) 5.又 f(2)5，35所以所求切线方程为y - 5(x 2),即15x 3y 25 0.所以曲线y f(x)在点(2, f (2)处的切线方程为15x 3y 25 0.(n)因为 f(x) x2 2mx 3m2,令 f(x) 0,得 x 3m 或 x m 8分当m 0时，f(x) x2 0恒成立，不符合题意. 9分当m 0时，f(x)的单调递减区间是(3m,m),若f(x)在区间(2,3)上是减函数,3m 2, 则解得m 3. 11分m 3.当m 0时，f(x)的单调递减区间是(m, 3m),若f(x)在区间(2,3)上是减函数,m 2,- g则 ，解得m 2.3m 3.综上所述，实数 m的取值范围是 m 3或m 2. 13分(19)(共 14 分)2 2解：(I)设椭圆C的方程为x22r 1 (a b 0).a bc _3a 2 ,由已知可得 3r1, 3分a2 4b22,22a b c .解得 a24, b2 1.2故椭圆C的方程为土y2 1. 6分4(n)由已知，若直线l的斜率不存在，则过点 E( 1,0)的直线l的方程为x 1此日中A( 1,), B( 1,-)显然EA 2 EB不成立.7分22 ，若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y k(x 1).1,y k(x 1).整理得(4k2 1)x2 8k2x 4k24 0.由(8k2)2 4(4k2 1)(4k2 4)248k2 16 0.设 A(x1，y1)，B(m 丫2).故 Xix28k2X1X24k2 44k2 110分因为EAEB,即 xi 2x23 .联立解得k 姐.13分614分所以直线l的方程为 炳x 6y 质 0和照x 6y J15 0. (20)(共 14 分)(I )解:xix20,xix21.由(1)得 x2xi ,再由(2)知 xi0 ,且 x20 .当 xi 0 时，x2 0 .得 2xi1 ,所以乂21, 2 1.2当 0时，同理得xi乂21, 21.2(n)证明：当n 3时,由已知 xi x2 x3 0, xix2x3 =1 .所以 3% 2x2 x3xi 2(% x2 x3) %xi乂31. 9分(出)证明：因为 a1 a, an,且 a1an (i 1,2,3, |, n).所以(ai a,) (a, 4)|(a a,) (a an)aan11分即忸+an 2al |ai an(i 1,2,3, |,n).naiXi